Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla abaixo, onde vou interpretar que a integração é feita primeiro em
, depois em
e por fim em
:
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - Para cada par
com e , a variável varia de até . - Os limites de
e são independentes e ambos iguais a .
O que se pede: o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Vamos começar pela integração interna em
. Preciso da primitiva de
em relação a
. Lembra daquela regra básica de integrais? A primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Portanto, integrando entre os limites
e
temos:
Passo 3
Agora avalio a primitiva nos limites. Substituindo:
Então a integral tripla vira a integral dupla
Passo 4
Vamos simplificar a expressão trigonométrica
. Uma identidade muito útil é
Aplicando com
e
:
Calcule os meios:
Logo
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Substituindo essa simplificação na integral dupla, obtemos
Observe que a expressão é produto de uma função de
por uma função de
. Quando a região de integração é um produto cartesiano (aqui
), podemos separar a integral em produto de integrais:
Isto é uma aplicação direta da propriedade de separabilidade de integrais sobre retângulos.
Passo 6
Calcule cada integral simples. Vamos ao de
(o de
é idêntico):
Portanto cada uma das integrais vale
. Substituindo:
Passo 7
Resumo rápido do processo para você lembrar na prova: (i) integrar primeiro em
dá
; (ii) usar a identidade trigonométrica para transformar isso em
; (iii) separar a integral dupla em produto de integrais simples e calcular cada uma (ambas iguais a
). Resultado final pronto.
Resposta
2