Calcule
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{x-y}^{x+y} \operatorname{sen} z d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla abaixo, onde vou interpretar que a integração é feita primeiro em z, depois em x e por fim em y:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{x-y}^{\,x+y}\sin z\,dz\,dx\,dy.
Informações relevantes dadas:
  1. O integrando é \sin z.
  2. Para cada par (x,y) com x\in[0,\pi/2] e y\in[0,\pi/2], a variável z varia de z=x-y até z=x+y.
  3. Os limites de x e y são independentes e ambos iguais a [0,\pi/2].
    O que se pede: o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Vamos começar pela integração interna em z. Preciso da primitiva de \sin z em relação a z. Lembra daquela regra básica de integrais? A primitiva de \sin z é -\cos z, porque a derivada de -\cos z é \sin z. Portanto, integrando entre os limites z=x-y e z=x+y temos:
\int_{x-y}^{\,x+y}\sin z\,dz = \Bigl[-\cos z\Bigr]_{z=x-y}^{z=x+y}.

Passo 3

Agora avalio a primitiva nos limites. Substituindo:
\Bigl[-\cos z\Bigr]_{z=x-y}^{z=x+y} = -\cos(x+y) - \bigl(-\cos(x-y)\bigr) = \cos(x-y)-\cos(x+y).
Então a integral tripla vira a integral dupla
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão trigonométrica \cos(x-y)-\cos(x+y). Uma identidade muito útil é
\cos A - \cos B = -2\sin\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Aplicando com A=x-y e B=x+y:
\cos(x-y)-\cos(x+y) = -2\sin\!\Bigl(\frac{(x-y)+(x+y)}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{(x-y)-(x+y)}{2}\Bigr).
Calcule os meios:
\frac{(x-y)+(x+y)}{2} = \frac{2x}{2}=x,\qquad \frac{(x-y)-(x+y)}{2} = \frac{-2y}{2}=-y.
Logo
\cos(x-y)-\cos(x+y) = -2\sin x\sin(-y).
Como \sin(-y)=-\sin y, isso simplifica para
\cos(x-y)-\cos(x+y)=2\sin x\sin y.

Passo 5

Substituindo essa simplificação na integral dupla, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}2\sin x\sin y\,dx\,dy.
Observe que a expressão é produto de uma função de x por uma função de y. Quando a região de integração é um produto cartesiano (aqui [0,\pi/2]\times[0,\pi/2]), podemos separar a integral em produto de integrais:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}2\sin x\sin y\,dx\,dy = 2\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dy\right).
Isto é uma aplicação direta da propriedade de separabilidade de integrais sobre retângulos.

Passo 6

Calcule cada integral simples. Vamos ao de x (o de y é idêntico):
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = \Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = -\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr) = -0 - (-1) = 1.
Portanto cada uma das integrais vale 1. Substituindo:
2\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dy\right) = 2\cdot 1\cdot 1 = 2.

Passo 7

Resumo rápido do processo para você lembrar na prova: (i) integrar primeiro em z \cos(x-y)-\cos(x+y); (ii) usar a identidade trigonométrica para transformar isso em 2\sin x\sin y; (iii) separar a integral dupla em produto de integrais simples e calcular cada uma (ambas iguais a 1). Resultado final pronto.

Resposta

2

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