Calcule a massa do cubo
e
, cuja densidade no ponto
é dada pela soma das coordenadas, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de massa. A gente tem um cubo definido pelos limites:
-
-
-
(que simplifica para )
A densidade em qualquer ponto
desse cubo é dada por
. Para achar a massa, vamos precisar integrar essa densidade sobre todo o volume do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa
de um objeto com densidade variável é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume
:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites das integrais. Sabemos que:
-
varia de 0 a 2 -
varia de 0 a 1 -
varia de 0 a
Portanto, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral em ordem, começando por
:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A massa do cubo é
unidades de massa.