Calcule a massa do cubo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 0 <= 3 z <= 1, cuja densidade no ponto (x, y, z) é dada pela soma das coordenadas, ou seja, de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de massa. A gente tem um cubo definido pelos limites:
  • 0 <= x <= 2
  • 0 <= y <= 1
  • 0 <= 3z <= 1 (que simplifica para 0 <= z <= 13)
A densidade em qualquer ponto (x, y, z) desse cubo é dada por de. Para achar a massa, vamos precisar integrar essa densidade sobre todo o volume do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa M de um objeto com densidade variável é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume V:
M = integral triplaV de
No nosso caso, de, então:
M = integral triplaV (x + y + z) , dV

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites das integrais. Sabemos que:
  • x varia de 0 a 2
  • y varia de 0 a 1
  • z varia de 0 a 13
Portanto, a integral fica assim:
M = integral0^2 integral0^1 integral0^13 (x + y + z) , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral em ordem, começando por z:
integral0^13 (x + y + z) , dz = [ xz + yz + z^22 ]0^13 = x(13) + y(13) + (13)^22
= x3 + y3 + 118
Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 ( x3 + y3 + 118 ) dy = x3 cdot 1 + 13 cdot 1^22 + 118 cdot 1 = x3 + 16 + 118
= x3 + 418 = x3 + 29
Por fim, integramos em relação a x:
integral0^2 ( x3 + 29 ) dx = 13 cdot 2^22 + 29 cdot 2 = 23 + 49 = 69 + 49 = 109

Resposta

A massa do cubo é 109 unidades de massa.

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