Calcule a massa da esfera cuja densidade em cada ponto é dada por .
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que calcular a massa de uma esfera definida pela equação . A densidade em cada ponto dessa esfera é dada por . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais triplas para encontrar a massa total dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. A equação descreve uma esfera de raio 1, mas deslocada para cima no eixo z, com centro em (0, 0, 1). Isso significa que a esfera vai de a .
Passo 3
A massa de um corpo é dada pela integral tripla da densidade sobre a região que o corpo ocupa:
No nosso caso, e é a esfera mencionada.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:
Passo 5
Mas nossa esfera está deslocada no eixo z. Para simplificar, podemos fazer um deslocamento no eixo z: . Assim, a equação da esfera fica:
Agora, estamos trabalhando com uma esfera centrada na origem.
Passo 6
Substituindo de volta para z:
Isso significa que nossa densidade .
Passo 7
Agora, expressamos a massa em coordenadas esféricas deslocadas:
onde é a esfera centrada na origem.
Passo 8
Em coordenadas esféricas, . Portanto:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :