Calcule a massa da esfera x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1 cuja densidade em cada ponto é dada por f(x, y, z)=z.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que calcular a massa de uma esfera definida pela equação x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1. A densidade em cada ponto dessa esfera é dada por f(x, y, z) = z. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais triplas para encontrar a massa total dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. A equação x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1 descreve uma esfera de raio 1, mas deslocada para cima no eixo z, com centro em (0, 0, 1). Isso significa que a esfera vai de z = 0 a z = 2.

Passo 3

A massa M de um corpo é dada pela integral tripla da densidade f(x, y, z) sobre a região D que o corpo ocupa:
M = integral triplaD f(x, y, z) , dV
No nosso caso, f(x, y, z) = z e D é a esfera mencionada.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Mas nossa esfera está deslocada no eixo z. Para simplificar, podemos fazer um deslocamento no eixo z: z' = z - 1. Assim, a equação da esfera fica:
x^2 + y^2 + z'^2 <= 1
Agora, estamos trabalhando com uma esfera centrada na origem.

Passo 6

Substituindo de volta para z:
z = z' + 1
Isso significa que nossa densidade f(x, y, z) = z = z' + 1.

Passo 7

Agora, expressamos a massa em coordenadas esféricas deslocadas:
M = integral triplaD' (z' + 1) , dV
onde D' é a esfera centrada na origem.

Passo 8

Em coordenadas esféricas, z' = rho cosphi. Portanto:
M = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 (rho cosphi + 1) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^1 (rho cosphi + 1) rho^2 , drho = integral0^1 rho^3 cosphi + rho^2 , drho = [ rho^44 cosphi + rho^33 ]0^1 = 14 cosphi + 13

Passo 10

Agora, a integral fica:
M = integral0^2pi integral0^pi ( 14 cosphi + 13 ) sinphi , dphi , dtheta

Passo 11

Vamos integrar em relação a phi:
integral0^pi ( 14 cosphi + 13 ) sinphi , dphi
Fazendo a substituição u = cosphi, du = -sinphi , dphi:
-14 integral1^-1 u , du + 13 integral0^pi sinphi , dphi = 14 integral-1^1 u , du + 13 [ -cosphi ]0^pi = 14 ( u^22 g|-1^1 ) + 13 ( -(-1) + 1 ) = 14 ( 12 - 12 ) + 13 (2) = 0 + 23 = 23

Passo 12

Por fim, integramos em relação a theta:
M = integral0^2pi 23 , dtheta = 23 cdot 2pi = 4pi3

Resposta

A massa da esfera é 4pi3.

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