- Calcule a massa de uma lâmina delimitada por
, se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto
.
- Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo de catetos
e
. Ache o momento de inércia em função de sua massa
.
(a) em relação ao eixo
(a) em relação ao eixo
Passo 1
Resumindo os enunciados:
- No exercício 21, temos uma lâmina cujo domínio é o círculo
e a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro . O objetivo é calcular a massa usando integração dupla em coordenadas polares. - No exercício 22(a), temos uma lâmina homogênea em forma de triângulo retângulo de catetos
(eixo ) e (eixo ), e queremos o momento de inércia em relação ao eixo , usando a definição .
Passo 2
Para o exercício 21, seja
a constante de proporcionalidade da densidade. Então
Como o domínio é o círculo de raio 1 centrado em
, introduzimos coordenadas polares centradas em
:
Passo 3
O cálculo da massa fica
Passo 4
Para o exercício 22(a), como a lâmina é homogênea, a densidade superficial é
O momento de inércia em relação ao eixo
é
Passo 5
No triângulo,
varia de
a
e, para cada
,
vai de
até a reta que liga
a
, dada por
. Assim
Como
temos
Resposta
-
22(a).