1. Calcule a massa de uma lâmina delimitada por (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1, se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto \mathrm{a}(1,2).
  2. Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo de catetos b e h. Ache o momento de inércia em função de sua massa M.
    (a) em relação ao eixo x

Passo 1

Resumindo os enunciados:
  • No exercício 21, temos uma lâmina cujo domínio é o círculo (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 e a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro A(1,2). O objetivo é calcular a massa usando integração dupla em coordenadas polares.
  • No exercício 22(a), temos uma lâmina homogênea em forma de triângulo retângulo de catetos b (eixo x) e h (eixo y), e queremos o momento de inércia em relação ao eixo x, usando a definição I_x=\iint y^2\,dm.

Passo 2

Para o exercício 21, seja k a constante de proporcionalidade da densidade. Então
\rho(x,y)=k\cdot\text{dist}\bigl((x,y),A\bigr) =k\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}.
Como o domínio é o círculo de raio 1 centrado em A, introduzimos coordenadas polares centradas em A:
x-1=r\cos\theta,\quad y-2=r\sin\theta, \quad dA=r\,dr\,d\theta, \quad r\in[0,1],\;\theta\in[0,2\pi].

Passo 3

O cálculo da massa fica
M=\iint_D \rho\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(k\,r)\,(r\,dr\,d\theta) =k\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{2}dr\,d\theta =k\cdot2\pi\cdot\frac{1^{3}}{3} =\frac{2\pi k}{3}.

Passo 4

Para o exercício 22(a), como a lâmina é homogênea, a densidade superficial é
\delta=\frac{M}{\text{área}}=\frac{M}{\tfrac{1}{2}bh}=\frac{2M}{b\,h}.á
O momento de inércia em relação ao eixo x é
I_x=\iint_{\triangle}y^{2}\,dm =\iint_{\triangle}y^{2}\,\delta\,dA.

Passo 5

No triângulo, y varia de 0 a h e, para cada y, x vai de 0 até a reta que liga (b,0) a (0,h), dada por x=b(1-\tfrac yh). Assim
I_x =\delta\int_{y=0}^{h}\int_{x=0}^{b(1-y/h)}y^{2}\,dx\,dy =\delta\,b\int_{0}^{h}y^{2}\Bigl(1-\frac{y}{h}\Bigr)dy.
Como
\int_{0}^{h}y^{2}dy=\frac{h^{3}}{3}, \quad \int_{0}^{h}y^{3}dy=\frac{h^{4}}{4},
temos
I_x =\delta\,b\Bigl(\frac{h^{3}}{3}-\frac{h^{3}}{4}\Bigr) =\delta\,b\;\frac{h^{3}}{12} =\frac{2M}{b\,h}\cdot\frac{b\,h^{3}}{12} =\frac{M\,h^{2}}{6}.

Resposta

  1. \displaystyle M=\frac{2\pi k}{3}.
    22(a). \displaystyle I_x=\frac{M\,h^{2}}{6}.

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