Calcule o volume do sólido interior à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e ao cilindro x^{2}+y^{2}=4 x e acima do x^{2}+y^{2}=1 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente
– estar dentro da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,
– estar dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4x,
– ficar acima do disco \;x^{2}+y^{2}=1 no plano z=0.
Este é um problema de volume em coordenadas cilíndricas, pois a esfera e os cilindros são simétricos em torno do eixo z. Vamos usar as variáveis (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z.

Passo 2

Em cilíndricas as superfícies ficam:
– esfera: \;r^{2}+z^{2}=16, logo 0\le z\le \sqrt{16-r^{2}}.
– cilindro externo: r^{2}=4r\cos\theta, isto é r=4\cos\theta.
– cilindro interno: r=1.
Para que exista região entre r=1 e r=4\cos\theta precisamos de 4\cos\theta\ge1, ou seja
\cos\theta\ge \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad -\alpha\le\theta\le\alpha,
onde definimos
\alpha = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac14\bigr).

Passo 3

O volume em coordenadas cilíndricas é
V =\int_{\theta=-\alpha}^{\alpha} \int_{r=1}^{4\cos\theta} \int_{z=0}^{\sqrt{16-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro fazemos a integral em z:
\int_{0}^{\sqrt{16-r^{2}}}dz =\sqrt{16-r^{2}},
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V =\int_{-\alpha}^{\alpha} \int_{1}^{4\cos\theta} r\,\sqrt{16-r^{2}}\;dr\;d\theta.

Passo 4

Para computar \displaystyle\int r\sqrt{16-r^{2}}\,dr usamos u=16-r^{2}, du=-2r\,dr:
\int r\sqrt{16-r^{2}}\,dr =-\tfrac12\int u^{1/2}du =-\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2} =-\tfrac{1}{3}(16-r^{2})^{3/2}.
Avaliada de r=1 a r=4\cos\theta
\int_{1}^{4\cos\theta}r\sqrt{16-r^{2}}\,dr =\tfrac{1}{3}\Bigl[(16-1)^{3/2}-(16-16\cos^{2}\theta)^{3/2}\Bigr] =\tfrac{1}{3}\bigl[15\sqrt{15}-64\,|\sin\theta|^{3}\bigr].
Como \theta\in[-\alpha,\alpha] tem \sin\theta ímpar, usamos |\sin\theta|^{3}=\sin^{3}\theta e notamos que a parte \sin^{3}\theta irá anular ao integrar simetricamente.

Passo 5

Substituindo no volume:
V =\int_{-\alpha}^{\alpha} \tfrac{1}{3}\bigl[15\sqrt{15}-64\,\sin^{3}\theta\bigr]\,d\theta =\tfrac{15\sqrt{15}}{3}\,\int_{-\alpha}^{\alpha}d\theta - \tfrac{64}{3}\int_{-\alpha}^{\alpha}\sin^{3}\theta\,d\theta.
O segundo integral é zero por simetria de \sin^{3}. Ficamos com
V =\tfrac{15\sqrt{15}}{3}\cdot(2\alpha) =10\sqrt{15}\,\alpha.

Passo 6

Lembrando que \alpha=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac14\bigr), obtemos a expressão final:

Resposta

V = 10\sqrt{15}\,\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac14\bigr).

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