Calcule o volume do sólido interior à esfera
e ao cilindro
e acima do
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente
– estar dentro da esfera ,
– estar dentro do cilindro ,
– ficar acima do disco no plano
.
– estar dentro da esfera
– estar dentro do cilindro
– ficar acima do disco
Este é um problema de volume em coordenadas cilíndricas, pois a esfera e os cilindros são simétricos em torno do eixo
. Vamos usar as variáveis
com
Passo 2
Em cilíndricas as superfícies ficam:
– esfera: , logo
.
– cilindro externo: , isto é
.
– cilindro interno: .
Para que exista região entre e
precisamos de
, ou seja
– esfera:
– cilindro externo:
– cilindro interno:
Para que exista região entre
onde definimos
Passo 3
O volume em coordenadas cilíndricas é
Primeiro fazemos a integral em
:
logo
Passo 4
Para computar
usamos
,
:
Avaliada de
a
dá
Como
tem
ímpar, usamos
e notamos que a parte
irá anular ao integrar simetricamente.
Passo 5
Substituindo no volume:
O segundo integral é zero por simetria de
. Ficamos com
Passo 6
Lembrando que
, obtemos a expressão final: