(2 pontos) Encontre a solução geral da EDO \left(y-y x^{2}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x+1 com condição inicial y(0)=1 pelo método que achar conveniente.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(y - yx^{2}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = x + 1
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo aqui é equação de variáveis separáveis: precisamos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, fatoramos y:
y\,(1 - x^{2})\,\frac{dy}{dx} = x + 1.
Dividindo ambos os lados por 1 - x^{2} e por agrupando o y junto a dy, obtemos
y\,dy = \frac{x + 1}{1 - x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado. Do lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Do lado direito, usamos frações parciais em
\frac{x + 1}{1 - x^{2}} = \frac{x + 1}{(1 - x)(1 + x)}.
Fazendo
\frac{x+1}{1 - x^{2}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{1 + x},
vemos que A=1 e B=0, logo
\int \frac{x+1}{1 - x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{1 - x}\,dx = -\ln\bigl|1 - x\bigr|.
Portanto a integração dá
\frac{y^{2}}{2} = -\ln\bigl|1 - x\bigr| + C.

Passo 4

Multiplicando por 2, escrevemos a solução geral implícita como
y^{2} = C' \;-\; 2\,\ln\bigl|1 - x\bigr|,
onde C' = 2C é constante arbitrária.

Passo 5

Para impor y(0)=1, substituímos x=0 e y=1 em
1^{2} = C' - 2\ln\bigl|1 - 0\bigr| \;\Longrightarrow\; 1 = C' - 2\cdot 0 \;\Longrightarrow\; C'=1.
Logo a solução particular é
y^{2} = 1 - 2\,\ln\bigl(1 - x\bigr).
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo da raiz.

Resposta

y(x) = \sqrt{\,1 \;-\; 2\,\ln\bigl(1 - x\bigr)\,},\quad x<1.

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