( 2,5 pontos) Considere a equação diferencial
(a) Mostre que a EDO acima não é exata.
(b) Encontre um fator integrante que transforme a EDO em uma EDO exata e encontre a sua solução geral.
(b) Encontre um fator integrante que transforme a EDO em uma EDO exata e encontre a sua solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede: (a) mostrar que não é exata; (b) encontrar um fator integrante que a torne exata e achar a solução geral.
O conteúdo principal aqui é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, vamos usar as definições de exatidão e testar fatores que dependem só de .
O conteúdo principal aqui é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, vamos usar as definições de exatidão e testar fatores que dependem só de
Passo 2
Para testar exatidão escrevemos
Calculamos
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. A condição é que
seja função só de
. Aqui
portanto
que é constante e, em particular, depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo
onde
Agora é exata, ou seja, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Então
Igualando a
dá
, logo
é constante.
A solução implícita é
Simplificando o parêntese:
então