( 2,5 pontos) Considere a equação diferencial
\left(x y+y^{2}+y+1\right) \mathrm{d} x+(x+2 y) \mathrm{d} y=0
(a) Mostre que a EDO acima não é exata.
(b) Encontre um fator integrante que transforme a EDO em uma EDO exata e encontre a sua solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(x\,y + y^{2} + y + 1\bigr)\,dx + (x + 2y)\,dy = 0
e pede: (a) mostrar que não é exata; (b) encontrar um fator integrante que a torne exata e achar a solução geral.
O conteúdo principal aqui é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, vamos usar as definições de exatidão e testar fatores que dependem só de x.

Passo 2

Para testar exatidão escrevemos
M(x,y) = x\,y + y^{2} + y + 1, \quad N(x,y) = x + 2y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2y + 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2y + 1 \neq 1 = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x). A condição é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função só de x. Aqui
\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = (x + 2y + 1) - 1 = x + 2y,
portanto
\frac{x + 2y}{\,x + 2y\,} = 1,
que é constante e, em particular, depende só de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\bigl(\!\int 1\,dx\bigr) = e^{x}.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \mu(x)=e^{x}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
onde
M^* = e^{x}(x\,y + y^{2} + y + 1), \quad N^* = e^{x}(x + 2y).
Agora é exata, ou seja, existe \psi(x,y) tal que
\psi_x = M^*, \quad \psi_y = N^*.
Integramos \psi_x = e^{x}(x\,y + y^{2} + y + 1) em relação a x:
\psi(x,y) = \int e^{x}\bigl(x\,y + y^{2} + y + 1\bigr)\,dx = y\,e^{x}(x - 1) + (y^{2} + y + 1)\,e^{x} + h(y).
Então
\psi_y = e^{x}(x - 1) + e^{x}(2y + 1) + h'(y) = e^{x}(x + 2y) + h'(y).
Igualando a N^* = e^{x}(x + 2y) h'(y)=0, logo h é constante.
A solução implícita é
\psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\bigl[y(x-1) + y^{2} + y + 1\bigr] = C.
Simplificando o parêntese:
y(x-1) + y^{2} + y + 1 = x\,y + y^{2} + 1,
então
e^{x}\bigl(x\,y + y^{2} + 1\bigr) = C.

Resposta

e^{x}\bigl(x\,y + y^{2} + 1\bigr) = C.

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