Calcule a massa do sólido exterior à esfera
e interior à esfera
, cuja função densidade de massa
é diretamente proporcional à distancia do ponto
até a origem.
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido entre a esfera de raio 1 centrada na origem e a esfera de centro (0,0,1) e raio 1, com densidade proporcional à distância ao eixo. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas com densidade radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
A densidade é
, pois é proporcional à distância
ao centro. O elemento de volume em esféricas é
, logo o integrando fica
.
Passo 3
Precisamos determinar os limites: a esfera
fornece
; a esfera
vira
, impondo
. Para existir
até
requer
, ou seja
. E
.
Passo 4
Montamos o integral:
Primeiro em
:
Passo 5
Agora o integral em
e
:
Fazendo a substituição
,
, trocando os limites de
e
, o integral vira
Passo 6
Reunindo constantes: