Calcule a massa do sólido exterior à esfera x^2+y^2+z^2=1 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=2z, cuja função densidade de massa de é diretamente proporcional à distancia do ponto (x, y, z) até a origem.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido entre a esfera de raio 1 centrada na origem e a esfera de centro (0,0,1) e raio 1, com densidade proporcional à distância ao eixo. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas com densidade radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
A densidade é de, pois é proporcional à distância rho ao centro. O elemento de volume em esféricas é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta, logo o integrando fica de.

Passo 3

Precisamos determinar os limites: a esfera rho=1 fornece rho>=1; a esfera rho^2=2rhocosphi vira rho=2cosphi, impondo rho<=2cosphi. Para existir rho>=1 até 2cosphi requer 2cosphi>=1, ou seja 0<=phi<=pi/3. E 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Montamos o integral:
M=kintegral0^2piintegral0^pi/3integral1^2cosphirho^3sinphi,drho,dphi,dtheta
Primeiro em rho:
integral1^2cosphirho^3,drho=14l((2cosphi)^4-1r)=14(16cos^4phi-1)

Passo 5

Agora o integral em phi e theta:
M=kcdot2picdot14integral0^pi/3(16cos^4phi-1)sinphi,dphi
Fazendo a substituição u=cosphi, du=-sinphi,dphi, trocando os limites de phi=0to u=1 e phi=pi/3to u=1/2, o integral vira
integral1/2^1(16u^4-1),du=l[tfrac165u^5-ur]1/2^1=135

Passo 6

Reunindo constantes:
M=kcdot2picdot14cdot135=13kpi10

Resposta

M=13kpi10

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