Calcule o volume dos sólidos abaixo.
Sólido no 1o. octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=4, e x+y+z=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas) e que é limitado pelos planos coordenados (xy, yz, zx) e pelos planos x=1, y=4 e x+y+z=5. Vamos usar integrais triplas para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. Como estamos no primeiro octante, temos que x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Além disso, o plano x=1 limita a coordenada x até 1, e o plano y=4 limita a coordenada y até 4.

Passo 3

O plano x + y + z = 5 relaciona as três variáveis. Para encontrar os limites de z, isolamos z nessa equação:
z = 5 - x - y
Isso nos mostra que para cada ponto (x, y), z varia de 0 até 5 - x - y.

Passo 4

Agora, estabelecemos os limites de integração para cada variável:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de 0 a 4
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a 5 - x - y

Passo 5

Escrevemos a integral tripla para calcular o volume:
V = integral0^1 integral0^4 integral0^5 - x - y dz , dy , dx

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^5 - x - y dz = [z]0^5 - x - y = 5 - x - y
Agora, a integral fica:
V = integral0^1 integral0^4 (5 - x - y) , dy , dx

Passo 7

Integrando em relação a y:
integral0^4 (5 - x - y) , dy = integral0^4 (5 - x) , dy - integral0^4 y , dy
= (5 - x) cdot 4 - [ y^22 ]0^4
= 4(5 - x) - 162
= 20 - 4x - 8
= 12 - 4x

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
V = integral0^1 (12 - 4x) , dx
= [12x - 2x^2]0^1
= (12 cdot 1 - 2 cdot 1^2) - (0 - 0)
= 12 - 2
= 10

Resposta

O volume do sólido é 10 unidades cúbicas.

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