Calcule o volume dos sólidos abaixo.
Sólido no 1o. octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos
, e
.
Sólido no 1o. octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas) e que é limitado pelos planos coordenados (xy, yz, zx) e pelos planos
,
e
. Vamos usar integrais triplas para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. Como estamos no primeiro octante, temos que
,
e
. Além disso, o plano
limita a coordenada x até 1, e o plano
limita a coordenada y até 4.
Passo 3
O plano
relaciona as três variáveis. Para encontrar os limites de z, isolamos z nessa equação:
Isso nos mostra que para cada ponto (x, y), z varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, estabelecemos os limites de integração para cada variável:
- x varia de 0 a 1
- Para cada x, y varia de 0 a 4
- Para cada par (x, y), z varia de 0 a
Passo 5
Escrevemos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a z:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a y:
Passo 8
Agora, integramos em relação a x:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.