Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
integral 1x^2-4 d x

Passo 1

A integral que vamos calcular é integral 1x^2-4,dx. O conteúdo principal é o método de frações parciais, que exige fatorar o denominador e decompor a fração racional em parcelas simples.

Passo 2

O denominador x^2-4 é uma diferença de quadrados. Portanto, podemos escrever:
x^2-4=(x-2)(x+2)

Passo 3

Assumimos a forma de frações parciais:
1x^2-4=Ax-2+Bx+2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x+2) para obter uma equação polinomial:
A(x+2)+B(x-2)=1
Agora, vamos achar A e B comparando coeficientes.

Passo 5

Expandindo e comparando coeficientes em x:
A(x+2)+B(x-2)= (A+B)x + (2A-2B)=1
Isso gera o sistema:
A+B=0, 2A-2B=1
Resolvendo, obtemos A=tfrac14 e B=-tfrac14.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral 1x^2-4,dx=integral l(1/4x-2-1/4x+2r)dx
Agora é só integrar cada termo usando integral 1x-a,dx=ln|x-a|+C.

Passo 7

Integrando, chega-se a:
14ln|x-2|-14ln|x+2|+C
E, se preferir, combinamos os logaritmos em um só:
14lnl|x-2x+2r|+C

Resposta

14lnl|x-2x+2r|+C

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