Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
integral 2 x+1x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2x+1x^2-1 ,dx usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
Isso identifica os fatores lineares para a decomposição.

Passo 3

Assumimos a decomposição
2x+1(x-1)(x+1) = Ax-1 + Bx+1
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1) e obtemos
2x+1 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 4

Expandindo e agrupando termos, temos
A(x+1) + B(x-1) = (A+B)x + (A - B).
Comparando com 2x+1, igualamos coeficientes:
A + B = 2, A - B = 1
Resolvendo o sistema, encontramos A = tfrac32 e B = tfrac12.

Passo 5

Substituímos A e B na integral:
integral 2x+1x^2-1 ,dx = integral l(3/2x-1 + 1/2x+1r) ,dx = 32integral 1x-1 ,dx + 12integral 1x+1 ,dx

Passo 6

Agora integramos cada termo usando integral 1x-a ,dx = ln|x-a|:
32ln|x-1| + 12ln|x+1| + C

Resposta

32ln|x-1| + 12ln|x+1| + C

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