Calcule a massa do sólido W interior ao cone z=raiz3(x^2+y^2) e limitado pela esfera x^2+y^2+(z-1)^2=1, sendo a densidade igual ao quadrado da distância de (x, y, z) ao plano z=0.

Passo 1

O enunciado nos pede a massa do sólido W que fica dentro do cone z=raiz3(x^2+y^2) e limitado pela esfera x^2+y^2+(z-1)^2=1, com densidade rho(x,y,z)= (distância ao plano z=0)^2, ou seja rho=z^2. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região e do integrando.

Passo 2

Em esféricas, adotamos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A densidade vira z^2=(rhocosphi)^2=rho^2cos^2phi.
O cone z=raiz3,r em esféricas corresponde a tanphi=tfrac r z=tfrac1raiz3, ou seja phi=pi/6. Como queremos o interior do cone, temos 0<=phi<=pi/6. A esfera x^2+y^2+(z-1)^2=1 em esféricas dá rho=2cosphi. Logo, na região W:
0<=theta<=2pi,
0<=phi<=pi/6,
0<=rho<=2cosphi.

Passo 3

A massa é
m=integral triplaWrho(x,y,z),dV=integral0^2piintegral0^pi/6integral0^2cosphi(rho^2cos^2phi),(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^2cosphirho^4,drho=(2cosphi)^55=32cos^5phi5

Passo 5

Então
m=2picdot325integral0^pi/6cos^2phisinphi,cos^5phi,dphi=64pi5integral0^pi/6cos^7phisinphi,dphi

Passo 6

Fazendo u=cosphi, du=-sinphi,dphi, o limite phi=0to u=1 e phi=pi/6to u=raiz3/2:
integral0^pi/6cos^7phisinphi,dphi=integral1^raiz3/2u^7(-du)=integralraiz3/2^1u^7,du=gl[u^88gr]raiz3/2^1=18l(1-l(tfracraiz32r)^8r)

Passo 7

Como (tfracraiz32)^8=tfrac81256, temos
integral0^pi/6cos^7phisinphi,dphi=18cdot175256=1752048

Passo 8

Logo
m=64pi5cdot1752048=64cdot175,pi5cdot2048=175,pi160=35,pi32

Resposta

35pi32

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