Calcule a massa do sólido
interior ao cone
e limitado pela esfera
, sendo a densidade igual ao quadrado da distância de
ao plano
.
Passo 1
O enunciado nos pede a massa do sólido W que fica dentro do cone
e limitado pela esfera
, com densidade
(distância ao plano
)^2, ou seja
. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região e do integrando.
Passo 2
Em esféricas, adotamos
,
,
e o elemento de volume é
. A densidade vira
.
O cone em esféricas corresponde a
, ou seja
. Como queremos o interior do cone, temos
. A esfera
em esféricas dá
. Logo, na região W:
,
,
.
O cone
Passo 3
A massa é
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Então
Passo 6
Fazendo
,
, o limite
e
:
Passo 7
Como
, temos
Passo 8
Logo