Um sólido tem a forma de um cilindro circular de raio de base a e altura h. Determine a massa supondo que a densidade em cada ponto seja proporcional à distância do ponto a uma das bases do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um cilindro de raio de base a e altura h, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto a uma das bases. Isso cai em conteúdo de integrais triplas e coordênadas cilíndricas. Para resolver, vamos: definir um eixo z perpendicular às bases, expressar a densidade como rho = k z (sendo k a constante de proporcionalidade) e usar integrais em r,theta,z.

Passo 2

Escolher o sistema de coordenadas: coloque a base mais próxima da origem em z=0 e a outra em z=h. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz e a densidade é rho(z)=k,z. Assim, a massa é
M=integralz=0^hintegraltheta=0^2piintegralr=0^ak,z;r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Agora calculamos as integrais em r e theta primeiro:
integraltheta=0^2pidthetaintegralr=0^ar,dr =2picdota^22=pi a^2

Passo 4

Substituindo de volta em M e integando em z:
M = k,pi a^2 integral0^hz,dz = k,pi a^2cdoth^22 = k,pi a^2 h^22

Resposta

M = k,pi a^2 h^22.

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