Um sólido tem a forma de um cilindro circular de raio de base
e altura
. Determine a massa supondo que a densidade em cada ponto seja proporcional à distância do ponto a uma das bases do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um cilindro de raio de base
e altura
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto a uma das bases. Isso cai em conteúdo de integrais triplas e coordênadas cilíndricas. Para resolver, vamos: definir um eixo
perpendicular às bases, expressar a densidade como
(sendo
a constante de proporcionalidade) e usar integrais em
.
Passo 2
Escolher o sistema de coordenadas: coloque a base mais próxima da origem em
e a outra em
. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
e a densidade é
. Assim, a massa é
Passo 3
Agora calculamos as integrais em
e
primeiro:
Passo 4
Substituindo de volta em
e integando em
: