Seja W um sólido limitado pelas superfícies y^2+z=4, y+z=2, x=0 e x=2.
Calcule integralegral triplaW e^a x d V.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo integral triplaW e^a x,dV, onde a região W é limitada pelas superfícies y^2+z=4, y+z=2 e os planos x=0, x=2. O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas (triplas) e vamos precisar descrever bem a região e depois integrar em ordem adequada.

Passo 2

Como as superfícies y^2+z=4 e y+z=2 não dependem de x, a região W é produto do intervalo 0<= x<=2 pela região D no plano yz limitada por z=4-y^2 (parabólica invertida) e z=2-y (plano). Para encontrar os limites em y, igualamos 4-y^2=2-y, o que dá y^2-y-2=0 com raízes y=-1 e y=2. Assim y varia de -1 a 2, e para cada y temos 2-y<= z<=4-y^2.

Passo 3

Montamos então a integral iterada como produto de integrais em x, y e z:
integral triplaW e^ax,dV=integralx=0^2 e^ax,dx;integraly=-1^2integralz=2-y^4-y^2dz,dy
Aqui tiramos e^ax para fora das integrais em y,z porque ela não depende dessas variáveis.

Passo 4

Primeiro integramos em z. Como integralz1^z2dz= z2-z1, temos
integralz=2-y^4-y^2dz=(4-y^2)-(2-y)=2+y-y^2
Logo a parte em y,z vira integraly=-1^2(2+y-y^2),dy.

Passo 5

Agora calculamos integraly=-1^2(2+y-y^2),dy.
Aplicando os tíchônomos separadamente:
integral2,dy=2y, integral y,dy=tfracy^22, integral y^2,dy=tfracy^33
Avaliando de -1 a 2
l[2y+tfracy^22-tfracy^33r]-1^2=92

Passo 6

Por fim, a integral em x fica
integral0^2e^axdx=e^2a-1a,&aneq0,2,&a=0
Multiplicando pelo resultado 9/2 que veio de y,z, obtemos a resposta final.

Resposta

integral triplaW e^ax,dV=92al(e^2a-1r) para aneq0 (e vale 9 se a=0).

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