Seja
um sólido limitado pelas superfícies
,
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral triplo
, onde a região
é limitada pelas superfícies
,
e os planos
,
. O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas (triplas) e vamos precisar descrever bem a região e depois integrar em ordem adequada.
Passo 2
Como as superfícies
e
não dependem de
, a região
é produto do intervalo
pela região
no plano
limitada por
(parabólica invertida) e
(plano). Para encontrar os limites em
, igualamos
, o que dá
com raízes
e
. Assim
varia de
a
, e para cada
temos
.
Passo 3
Montamos então a integral iterada como produto de integrais em
,
e
:
Aqui tiramos
Passo 4
Primeiro integramos em
. Como
, temos
Logo a parte em
Passo 5
Agora calculamos
.
Aplicando os tíchônomos separadamente:
Aplicando os tíchônomos separadamente:
Avaliando de
Passo 6
Por fim, a integral em
fica
Multiplicando pelo resultado