1- Calcule a massa superfície sigma: 2 x+3 y+4 z=12 no primeiro octante, se a densidade for de<a(x, y, z)=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de superfície da parte do plano 2x+3y+4z=12 que fica no primeiro octante, usando densidade superficial de<a(x,y,z)=x^2+y^2. Vamos aplicar integrais de superfície: parametrizar a superfície, calcular o elemento de área dS e integrar de<a,dS.

Passo 2

Parametrizamos o plano como gráfico de z em função de x,y. Da equação 2x+3y+4z=12 vem
z=12-2x-3y4
Como estamos no primeiro octante, x>=0, y>=0 e z>=0 implica
2x+3y<=12, x>=0,;y>=0,que é o triângulo com vértices (0,0),(6,0),(0,4). A parametrização é
r(x,y)=(x,,y,,(12-2x-3y)/4),com domínio D=(x,y):xin[0,6],;yin[0,4-2x/3].

Passo 3

Calculamos o fator de área pela fórmula dS=|rxtimes ry|,dxdy. Como
partial zpartial x=-12, partial zpartial y=-34,vem
dS=raiz1+l(-tfrac12r)^2+l(-tfrac34r)^2;dxdy=raiz294;dxdy

Passo 4

A massa é
integral duplaSde<a,dS=integral duplaD(x^2+y^2)raiz294;dxdy=raiz294integral duplaD(x^2+y^2),dA

Passo 5

Para integral duplaDx^2,dA e integral duplaDy^2,dA usamos integrais iteradas:
  1. I1=integralx=0^6integraly=0^4-2x/3x^2,dy,dx=72
  2. I2=integralx=0^6integraly=0^4-2x/3y^2,dy,dx=32
    Logo integral duplaD(x^2+y^2),dA=I1+I2=104

Resposta

26raiz29

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