encontre um intervalo centrado em
para o qual o problema de valor inicial dado tem uma única solução.
Nos Problemas 9 e 10, encontre um intervalo centrado em
para o qual o problema de valor inicial dado tem uma única solução.
Nos Problemas 9 e 10, encontre um intervalo centrado em
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede um intervalo centrado em
no qual haja existência e unicidade de solução. O conteúdo utilizado é o de EDO linear de segunda ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares, que exige que os coeficientes sejam contínuos num intervalo contendo o ponto inicial.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Aqui vemos que
Passo 3
Pelo Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de segunda ordem, se
,
e
forem contínuas num intervalo
que contém
, então existe uma única solução do IVP em
.
Passo 4
Verificamos a continuidade:
-
é contínua em . -
é contínua em . -
é contínua sempre que , ou seja, para
Em particular, em torno de
o primeiro ponto de descontinuidade ocorre em
. Logo podemos escolher qualquer intervalo aberto centrado em
que não alcance
.
Resposta
O maior intervalo centrado em
onde existe e é única a solução é