encontre um intervalo centrado em x=0 para o qual o problema de valor inicial dado tem uma única solução.
Nos Problemas 9 e 10, encontre um intervalo centrado em x=0 para o qual o problema de valor inicial dado tem uma única solução.
y^"+(tg x) y=e^x, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + (tan x),y = e^x, y(0)=1,;y'(0)=0
e pede um intervalo centrado em x=0 no qual haja existência e unicidade de solução. O conteúdo utilizado é o de EDO linear de segunda ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares, que exige que os coeficientes sejam contínuos num intervalo contendo o ponto inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R(x)
Aqui vemos que
P(x) = 0, Q(x) = tan x, R(x) = e^x

Passo 3

Pelo Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de segunda ordem, se P(x), Q(x) e R(x) forem contínuas num intervalo I que contém x=0, então existe uma única solução do IVP em I.

Passo 4

Verificamos a continuidade:
  • P(x)=0 é contínua em R.
  • R(x)=e^x é contínua em R.
  • Q(x)=tan x é contínua sempre que cos xneq0, ou seja, para
xneq pi2 + kpi, kinZ
Em particular, em torno de x=0 o primeiro ponto de descontinuidade ocorre em x=pmpi2. Logo podemos escolher qualquer intervalo aberto centrado em 0 que não alcance pmpi2.

Resposta

O maior intervalo centrado em x=0 onde existe e é única a solução é
l(-tfracpi2,tfracpi2r)

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