2- Calcule a integral de superfície integral duplasigma f(x, y, z) d S onde f(x, y, z)=x y z e sigma tem equação paramétrica r(u, v)=u cos v i+2 u j+u sen v k onde 1 <= u <= 3 ; 0 <= v <= pi / 2.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplasigma f(x,y,z),dS com f(x,y,z)=xyz e a superfície sigma dada parametricamente por r(u,v)=l(ucos v,,2u,,usin vr), onde 1<= u<=3 e 0<= v<=pi/2. O conteúdo é integral de superfície de função escalar em superfície paramétrica, e vamos precisar calcular derivadas parciais de r, o produto vetorial para obter dS e então montar a integral.

Passo 2

Para obter dS, primeiro calculamos as derivadas parciais:
partial rpartial u=lang<=cos v,,2,,sin vrang<=,
partial rpartial v=lang<= -usin v,,0,,ucos vrang<=

Passo 3

Em seguida, fazemos o produto vetorial
partial rpartial utimespartial rpartial v=lang<=2ucos v,,-u,,2usin vrang<=
e seu módulo é
|partial rpartial utimespartial rpartial v|=raiz(2ucos v)^2+(-u)^2+(2usin v)^2=raiz5,u^2=raiz5,u

Passo 4

Agora expressamos f na parametrização: como x=ucos v, y=2u e z=usin v, temos
f(r(u,v))=(ucos v),(2u),(usin v)=2u^3cos vsin v

Passo 5

A integral de superfície vira então
integral duplasigmaf,dS=integralu=1^3integralv=0^pi/22u^3cos vsin v;l(raiz5,ur),dv,du =2raiz5integral1^3u^4,duintegral0^pi/2cos vsin v,dv
Calculamos separadamente:
integral0^pi/2cos vsin v,dv=tfrac12,
integral1^3u^4,du=u^55|1^3=243-15=2425

Passo 6

Unindo tudo, obtemos
2raiz5times2425times12=242raiz55

Resposta

242raiz55

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