2- Calcule a integral de superfície onde e tem equação paramétrica onde .
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de superfície com e a superfície dada parametricamente por , onde e . O conteúdo é integral de superfície de função escalar em superfície paramétrica, e vamos precisar calcular derivadas parciais de , o produto vetorial para obter e então montar a integral.
Passo 2
Para obter , primeiro calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Em seguida, fazemos o produto vetorial
e seu módulo é
Passo 4
Agora expressamos f na parametrização: como x=ucos v, y=2u e z=usin v, temos
f(r(u,v))=(ucos v),(2u),(usin v)=2u^3cos vsin v
Passo 5
A integral de superfície vira então
integral duplasigmaf,dS=integralu=1^3integralv=0^pi/22u^3cos vsin v;l(raiz5,ur),dv,du =2raiz5integral1^3u^4,duintegral0^pi/2cos vsin v,dv