Calcule \iiint_{w} x dv, onde w é definido por
e
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
é a semi-bola sólida de raio
definida por
Vamos usar propriedades de simetria e, para confirmar, coordenadas esféricas.
Passo 2
Note que a região
é simétrica em relação ao plano
: se
, então
também. Como a função integrando
é ímpar em
, os valores positivos e negativos se anulam, logo
Passo 3
Para confirmar, em coordenadas esféricas usamos
com
,
e, devido a
,
. Assim a integral fica
mas
. Logo a integral vale zero.