Simplificando a expressão \frac{(n!)^{2}-(n-1)!n!}{(n-1)!n!}, obtém-se:
a) n-1
b) (n!)^{2}
c) 1
d) n!
e) n

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{(n!)^{2} - (n-1)!\,n!}{(n-1)!\,n!},
que envolve manipulação de fatoriais e cancelamento de termos comuns em numerador e denominador.

Passo 2

No numerador, fatoramos n! em evidência:
(n!)^{2} - (n-1)!\,n! = n!\bigl(n! - (n-1)!\bigr).

Passo 3

Substituindo no quociente e cancelando n! com o denominador, obtemos
\frac{n!\bigl(n! - (n-1)!\bigr)}{(n-1)!\,n!} = \frac{n! - (n-1)!}{(n-1)!}.

Passo 4

Agora dividimos cada parcela:
\frac{n!}{(n-1)!} = n \quad\text{e}\quad \frac{(n-1)!}{(n-1)!} = 1.

Passo 5

Portanto,
\frac{n! - (n-1)!}{(n-1)!} = n - 1.

Resposta

(a)

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