Calcule \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar entre dois vetores. Foi dado:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
A pergunta explícita é: calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}. (As componentes de \mathbf{c} foram fornecidas, mas não são necessárias para esse cálculo.)

Passo 2

Lembrete didático: o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é obtido multiplicando componente a componente e somando os resultados. Se
\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então vale a fórmula
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui u_x é a componente de \mathbf{u} na direção \mathbf{i}, u_y na direção \mathbf{j} e u_z na direção \mathbf{k}. O produto escalar resulta em um número (escalar).

Passo 3

Vamos extrair as componentes dos vetores dados:
  • Da expressão \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} segue que a_x=1, a_y=1, a_z=-2.
  • Da expressão \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k} segue que b_x=3, b_y=-2, b_z=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar componente a componente:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Substituindo os valores:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot 3 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 1.

Passo 5

Calcule passo a passo as multiplicações e a soma:
1\cdot 3 = 3, \qquad 1\cdot(-2) = -2, \qquad (-2)\cdot 1 = -2.
Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3+(-2)+(-2)=3-2-2=-1.

Passo 6

Interpretação rápida e motivadora: o produto escalar deu -1, um número negativo. Isso nos diz, geometricamente, que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é obtuso (maior que 90^\circ), porque \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta e um cosseno negativo indica ângulo obtuso. Mas para a resposta da prova só precisava do valor escalar que já calculamos.

Resposta

-1

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