Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série \sum \frac{(-1)^{n}}{n} tal que a série resultante seja divergente.

Passo 1

O enunciado pede: efetuar explicitamente uma reordenação (ou seja, uma permutação dos termos) da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}
de modo que a série rearranjada seja divergente.
Informações dadas e alvo:
  • Série original: termos a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}, isto é a sequência de termos -1,\;+\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{3},\;+\tfrac{1}{4},\;\dots.
  • Queremos uma nova ordem dos mesmos termos (uma permutação) tal que a soma, na ordem nova, não converge (por exemplo, que diverja para +\infty).

Passo 2

Vou explicar alguns conceitos básicos que usaremos, de modo bem passo a passo e sem pressupor que você já sabe:
  • Uma série \sum a_n converge se a sequência das somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n tem limite finito quando N\to\infty. Caso contrário dizemos que a série diverge.
  • A série dada é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz (critério da série alternada): se (u_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}u_n=0, então a série \sum (-1)^{n}u_n converge. Aqui u_n=1/n satisfaz essas condições, logo \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}converge (essa é a razão de a série original ser convergente).
  • No entanto, a série não converge absolutamente, porque a série de valores absolutos é a harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},que diverge. Séries que convergem, mas não convergem absolutamente, chamam-se condicionalmente convergentes.
  • Um fato importante (Riemann, que vou usar apenas qualitativamente aqui) é que uma série condicionalmente convergente pode ter suas parcelas permutadas para produzir vários comportamentos, inclusive divergência. Mas não vou invocar o teorema abstrato: vou construir uma permutação explícita e elementar que dá divergência.

Passo 3

Observação útil sobre sub-séries dos termos positivos e negativos:
  • Os termos positivos da série original são exatamente os termos de índice par: \frac{1}{2},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{6},\;\dotsEssa sub-série é \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k},e como \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge, a sub-série dos positivos diverge para +\infty.
  • Os termos negativos são os de índice ímpar: -1,\;-\frac{1}{3},\;-\frac{1}{5},\;\dotse a soma das magnitudes desses termos também diverge (para +\infty), logo a soma dos negativos diverge para -\infty. Em suma: tanto a soma de todos os positivos quanto a soma de todos os negativos divergem em módulo (cada uma à sua direção).
Isso já sugere uma maneira muito simples de forçar divergência: colocar muitos (ou todos) termos positivos no começo faz as somas parciais crescerem sem limite.

Passo 4

Construção explícita da reordenação (a pedido: explicito a ordem dos termos):
  • Reordeno os termos listando primeiro todos os termos positivos (os de índice par) na ordem natural, e só depois listando todos os termos negativos (os de índice ímpar) na ordem natural. Ou seja, a nova sequência de termos b_1,b_2,b_3,\dots é b_1=\frac{1}{2},\; b_2=\frac{1}{4},\; b_3=\frac{1}{6},\;\dots,\; b_k=\frac{1}{2k},\;\dotse depois, após esses, aparecem b_{*}=-1,\; b_{*+1}=-\frac{1}{3},\; b_{*+2}=-\frac{1}{5},\;\dotsem palavras: a ordem é \frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\; \frac{1}{6},\; \dots,\; -1,\; -\frac{1}{3},\; -\frac{1}{5},\; \dots(isso é uma permutação dos índices: primeiro todos os n=2,4,6,\dots, depois todos os n=1,3,5,\dots).
Isso é uma reordenação explícita dos termos originais.

Passo 5

Prova de que a série rearranjada diverge (mostrando que diverge para +\infty):
  • Considere as somas parciais S_N=\sum_{k=1}^{N} b_k da série nessa nova ordem. Para qualquer N suficientemente pequeno (ou seja, enquanto estivermos ainda na parte onde listamos apenas termos positivos), temos S_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}.A sequência \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k} tende a +\infty quando N\to\infty, porque é \tfrac{1}{2} vezes a soma harmônica parcial. Portanto, à medida que se acrescentam cada vez mais termos positivos no começo da nova ordem, as somas parciais crescem sem limite.
  • Formalizando: dado qualquer M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}>M,pois \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}=+\infty. Mas esses N primeiros termos da rearranjo são exatamente esses termos positivos, logo existe uma soma parcial S_N da série rearranjada maior que M. Como isso vale para todo M, a sequência das somas parciais não é limitada superiormente e, portanto, a série diverge para +\infty.
  • Conclusão: a rearranjo dado (todos os termos positivos primeiro, depois os negativos) produz uma série divergente.

Resposta

Reordenando os termos colocando primeiro todos os termos positivos \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{6},\dots e depois os negativos -1,-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{5},\dots, isto é,
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots -1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\cdots,
obtém-se uma série cujas somas parciais tendem a +\infty, portanto a série rearranjada diverge.

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