Prove:
(a) Se a sequência \left(a_{n}\right) é somável então, para cada bijeção \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, a sequência \left(b_{n}\right) definida por b_{n}=a_{\varphi(n)} é somável, com a mesma soma.
(b) Se a sequência ( a_{n} ) é somável, com soma s, então a série \sum a_{n}=s é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado dá que a sequência \left(a_n\right) é somável e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que para qualquer bijeção \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} a sequência definida por b_n = a_{\varphi(n)} também é somável e que a soma de \sum b_n é a mesma de \sum a_n.
  • (b) Mostrar que, se a sequência \left(a_n\right) é somável com soma s, então a série \sum a_n = s é absolutamente convergente.
Para evitar ambiguidade vou usar a interpretação padrão em análise funcional / séries: “a sequência \left(a_n\right) é somável” significa que \left(a_n\right)\in\ell^{1}, isto é,
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty.
Com essa definição em mente, o que precisamos provar é:
  • (a) qualquer rearranjo b_n=a_{\varphi(n)} também satisfaz \sum_{n=1}^{\infty}|b_n|<\infty e \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n;
  • (b) deduzir (explicitamente) que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e é absolutamente convergente (isto é, \sum |a_n|<\infty — que é exatamente a hipótese).

Passo 2

Lembrando definições e ferramentas que usaremos:
  • Uma série de termos não-negativos \sum_{n=1}^{\infty} c_n (com c_n\ge0) tem soma dada pelo limite crescente de suas somas parciais C_N=\sum_{n=1}^N c_n. Reordenar termos não muda a soma porque soma finita de não-negativos é independente da ordem (os parciais se aproximam do mesmo supremo).
  • Se \sum |a_n| < \infty, então as séries das partes positivas e negativas \sum a_n^{+},\qquad \sum a_n^{-},onde a_n^{+}=\max\{a_n,0\} e a_n^{-}=\max\{-a_n,0\}, são séries de termos não negativos e ambas são finitas (porque |a_n|=a_n^{+}+a_n^{-}).
  • Estratégia para (a): tratar primeiro a soma dos módulos (não-negativos) para provar que \sum |b_n|=\sum |a_n|. Depois, usar decomposição em partes positiva e negativa para a soma com sinais.

Passo 3

Seja S=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| <\infty. Defina as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^N |a_n|,\qquad T_m=\sum_{n=1}^m |b_n| = \sum_{n=1}^m |a_{\varphi(n)}|.
Queremos mostrar que \lim_{m\to\infty} T_m = S.
Dado \varepsilon>0, como S_N\uparrow S, existe N tal que
\sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| = S - S_N < \varepsilon.
Para qualquer m fixo, a soma T_m é a soma dos |a_k| com k corridos pela imagem do conjunto \{1,\dots,m\} via \varphi. Esse conjunto é finito; portanto, todos os índices que aparecem em T_m são ou bem \le N ou bem >N. Assim podemos separar
T_m = \sum_{\substack{1\le n\le m\\\ \varphi(n)\le N}} |a_{\varphi(n)}| \;+\; \sum_{\substack{1\le n\le m\\\ \varphi(n)> N}} |a_{\varphi(n)}|.
A primeira soma é \le S_N (pois é uma soma de alguns dos |a_1|,\dots,|a_N|). A segunda soma é ≤ toda a cauda \sum_{k=N+1}^\infty |a_k|<\varepsilon. Então
T_m \le S_N + \varepsilon.
Isto vale para todo m, logo \limsup_{m\to\infty} T_m \le S_N + \varepsilon. Como \varepsilon>0 é arbitrário e S_N\to S quando N\to\infty, obtemos \limsup_{m} T_m \le S.
Para a desigualdade oposta, note que o mesmo argumento aplicado à bijeção \varphi^{-1} (que reordena |b_n| de volta para |a_n|) dá \limsup_{N} S_N \le \lim T_m. Mais diretamente: trocar os papéis de a e b no argumento anterior fornece \limsup_{N} S_N \le \limsup_{m} T_m. Como \limsup_N S_N = S, concluímos \limsup_m T_m \ge S. Combinando, tem-se \lim_{m\to\infty} T_m = S. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} |b_n| = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|.
Logo b é também somável (pertence a \ell^1) e a soma dos módulos é preservada.

Passo 4

Agora queremos provar que
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Escrevemos a_n = a_n^{+} - a_n^{-} com a_n^{+},a_n^{-}\ge0 como acima. Como \sum |a_n|<\infty, temos \sum a_n^{+}<\infty e \sum a_n^{-}<\infty. Aplicando o resultado do Passo 3 às sequências não-negativas \left(a_n^{+}\right) e \left(a_n^{-}\right) obtemos que, para a bijeção \varphi,
\sum_{n=1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^{+} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^{-} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}.
Mas b_n = a_{\varphi(n)} = a_{\varphi(n)}^{+} - a_{\varphi(n)}^{-}. Como ambas as séries do lado direito convergem (séries de não-negativos), podemos subtrair os limites e obter
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^{+} - \sum_{n=1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^{-} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+} - \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Assim provamos que o rearranjo mantém a soma total (a soma com sinais).

Passo 5

Pela hipótese inicial adotada, \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty. A definição de “absolutamente convergente” é precisamente que \sum |a_n|<\infty. Então a série \sum a_n é absolutamente convergente por hipótese.
Para dar uma demonstração completa de que a absoluta converge implica que a série converge (às vezes quer-se ver explicitamente que a soma com sinais existe): use o critério de Cauchy. Se \sum |a_n|<\infty, então dadas \varepsilon>0 existe N tal que para todo p>q\ge N,
\sum_{k=q+1}^{p} |a_k| < \varepsilon.
Pelo triângulo,
\left|\sum_{k=q+1}^{p} a_k\right| \le \sum_{k=q+1}^{p} |a_k| < \varepsilon,
o que mostra que as somas parciais de \sum a_n formam uma sequência de Cauchy, logo convergem. Assim \sum a_n converge e, por definição, é absolutamente convergente.

Passo 6

  • Intuição para (a): quando os módulos somam finito, a ordem dos termos não importa porque as porções “grandes” são finitas e a cauda total é pequena; reordenar só redistribui uma quantidade finita entre os primeiros termos e uma cauda cujo total pode ser tornada arbitrariamente pequena.
  • Intuição para (b): absoluta convergência já significa \sum |a_n|<\infty; por comparação com a soma dos módulos (triângulo), a série com sinais converge também.

Resposta

(a) Para qualquer bijeção \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} a sequência b_n=a_{\varphi(n)} é somável e
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
(b) Se \left(a_n\right) é somável (isto é, \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|<\infty) então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e é absolutamente convergente.

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