7.1 (a) Calcule
\mathbf{H} em componentes cartesianos em P(2,3,4) se existe um filamento de corrente no eixo z no qual circulam 8 mA na direção
\mathbf{a}_{z}. (b) Repita se o filamento está posicionado em x=-1, y=2. (c) Calcule
\mathbf{H} se ambos os filamentos estão presentes.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético de intensidade vetorial \mathbf{H} em ponto P(2,3,4) devido a um filamento de corrente infinita. O conteúdo é magnetostática de linha de corrente infinita, onde usaremos a fórmula
\mathbf{H}(\rho) \;=\;\frac{I}{2\pi\,\rho}\,\mathbf{a}_{\varphi}
em coordenadas cilíndricas, e depois converteremos para componentes cartesianas.

Passo 2

Para um condutor retilíneo infinito paralelo ao eixo z passando por (x_0,y_0), a distância radial até o ponto P(x,y,z) é \rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2},
e o versor \mathbf{a}_{\varphi} em coordenadas cartesianas é
\mathbf{a}_{\varphi} \;=\;-\,\frac{y - y_0}{\rho}\,\mathbf{a}_x \;+\;\frac{x - x_0}{\rho}\,\mathbf{a}_y.
Logo
\mathbf{H} \;=\;\frac{I}{2\pi\,\rho}\Bigl(-\frac{y - y_0}{\rho}\,\mathbf{a}_x + \frac{x - x_0}{\rho}\,\mathbf{a}_y\Bigr) \;=\;\frac{I}{2\pi\,\rho^2}\bigl[-(y - y_0)\,\mathbf{a}_x + (x - x_0)\,\mathbf{a}_y\bigr].

Passo 3

Caso (a): o filamento está no eixo z, ou seja, x_0=0, y_0=0. No ponto P(2,3,4) temos
\rho_1 = \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},\quad y - y_0=3,\quad x - x_0=2.
Com I=8\text{ mA}=8\times10^{-3}\,\mathrm{A},
\mathbf{H}_1 =\frac{8\times10^{-3}}{2\pi\,( \sqrt{13})^2}\bigl[-3\,\mathbf{a}_x + 2\,\mathbf{a}_y\bigr] =\frac{8\times10^{-3}}{26\pi}\bigl(-3\,\mathbf{a}_x + 2\,\mathbf{a}_y\bigr)\;\mathrm{A/m}.

Passo 4

Caso (b): o filamento está em x_0=-1, y_0=2. Em P(2,3,4) temos
\rho_2 = \sqrt{(2+1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10},\quad y - y_0=1,\quad x - x_0=3,
então
\mathbf{H}_2 =\frac{8\times10^{-3}}{2\pi\,(\sqrt{10})^2}\bigl[-1\,\mathbf{a}_x + 3\,\mathbf{a}_y\bigr] =\frac{8\times10^{-3}}{20\pi}\bigl(-\mathbf{a}_x + 3\,\mathbf{a}_y\bigr)\;\mathrm{A/m}.

Passo 5

Caso (c): por superposição, o campo total é
\mathbf{H} = \mathbf{H}_1 + \mathbf{H}_2 =\frac{8\times10^{-3}}{26\pi}\bigl(-3\,\mathbf{a}_x + 2\,\mathbf{a}_y\bigr) +\frac{8\times10^{-3}}{20\pi}\bigl(-\mathbf{a}_x + 3\,\mathbf{a}_y\bigr).

Resposta

\mathbf{H}(2,3,4)=\frac{8\times10^{-3}}{26\pi}\bigl(-3\,\mathbf{a}_x + 2\,\mathbf{a}_y\bigr) +\frac{8\times10^{-3}}{20\pi}\bigl(-\mathbf{a}_x + 3\,\mathbf{a}_y\bigr)\;\mathrm{A/m}.

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