Um condutor filamentar onde circula uma corrente I tem a forma de um triângulo equilátero com lados de comprimento
\ell. Calcule a intensidade de campo magnético no centro do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a intensidade do campo magnético gerado por uma corrente I que percorre um fio em forma de triângulo equilátero de lado \ell, no ponto central (baricentro) do triângulo. Vamos usar a Lei de Biot–Savart para fio retilíneo finito e a simetria do problema para somar as contribuições dos três lados.

Passo 2

Para um trecho retilíneo de comprimento finito que passa à distância perpendicular R do ponto de observação, a Lei de Biot–Savart dá
B_{\rm trecho} \;=\;\frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,R}\,\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr),
onde \theta_{1} e \theta_{2} são os ângulos formados pelas retas que unem o ponto de observação aos dois extremos do trecho, medidos a partir da direção perpendicular ao fio.

Passo 3

No centro do triângulo equilátero, a perpendicular a um dos lados incide no ponto médio desse lado. A distância desse ponto médio ao baricentro é
R = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}.
Cada metade do lado tem comprimento \ell/2, de modo que
\tan\theta = \frac{\tfrac{\ell}{2}}{R} = \frac{\tfrac{\ell}{2}}{\tfrac{\ell}{2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = 60^\circ.
Assim, para cada trecho, \theta_{1}=\theta_{2}=60^\circ.

Passo 4

Substituindo em
B_{\rm trecho} =\frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,R}\,\bigl(\sin60^\circ+\sin60^\circ\bigr) =\frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,R}\,\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,R}\,\sqrt3
portanto
B_{\rm trecho} =\frac{\mu_{0}\,I\,\sqrt3}{4\pi\,R}.

Passo 5

Como o triângulo tem três lados iguais e a orientação de cada contribuição resulta no mesmo sentido (perpendicular ao plano, pela regra da mão direita), somamos três vezes B_{\rm trecho}:
B_{\rm total} =3\,B_{\rm trecho} =3\;\frac{\mu_{0}\,I\,\sqrt3}{4\pi\,R} =\frac{3\sqrt3\,\mu_{0}\,I}{4\pi\,R}.
Substituindo R=\tfrac{\ell}{2\sqrt3}, obtemos
B_{\rm total} =\frac{3\sqrt3\,\mu_{0}\,I}{4\pi}\;\frac{2\sqrt3}{\ell} =\frac{3\cdot2\cdot3\,\mu_{0}\,I}{4\pi\,\ell} =\frac{18\,\mu_{0}\,I}{4\pi\,\ell} =\frac{9\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\ell}.

Resposta

B_{\rm centro} =\frac{9\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\ell},
no sentido perpendicular ao plano do triângulo determinado pela regra da mão direita.

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