Um sistema trifásico simétrico a quatro fios, com tensão de linha de 440 V , alimenta uma carga em estrela com impedâncias \bar{Z}_{A N^{\prime}}=8+j 4 \Omega, \bar{Z}_{B N^{\prime}}=j 8 \Omega e \bar{Z}_{C N^{\prime}}=10 \Omega. Determine as componentes simétricas das tensões de fase e de linha e o grau de desequilíbrio das tensões.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico simétrico a quatro fios, com tensão de linha 440 V, que alimenta uma carga estrela desequilibrada com impedâncias
\bar Z_{AN'} = 8 + j4,\quad \bar Z_{BN'} = j8,\quad \bar Z_{CN'} = 10.
Como o neutro da carga está diretamente ligado ao neutro da fonte (sistema quatro-fios), as tensões de fase na carga coincidem com as tensões de fase da fonte, que são perfeitamente simétricas. Vamos calcular: (1) tensões de fase e de linha; (2) componentes simétricas dessas tensões; (3) grau de desequilíbrio.

Passo 2

Calcular as tensões de fase da fonte. A tensão de linha é
V_{L} = 440\text{ V}.
Logo, a tensão de fase (módulo) vale
V_{\text{fase}} = \frac{V_{L}}{\sqrt{3}} = \frac{440}{\sqrt{3}}\approx 254{,}03\text{ V}.
Em notação fasorial, tomando V_{AN}=V_{an} na fase A como referência, temos
V_{AN} = 254{,}03\angle 0^\circ,\quad V_{BN} = 254{,}03\angle -120^\circ,\quad V_{CN} = 254{,}03\angle +120^\circ.

Passo 3

Obter as tensões de linha em função das tensões de fase:
V_{AB} = V_{AN}-V_{BN},\quad V_{BC} = V_{BN}-V_{CN},\quad V_{CA} = V_{CN}-V_{AN}.
Sabendo que no sistema simétrico padrão isso resulta em
V_{AB}=440\angle +30^\circ,\quad V_{BC}=440\angle -90^\circ,\quad V_{CA}=440\angle +150^\circ,
em volts.

Passo 4

Calcular as componentes simétricas das tensões de fase V_{AN},V_{BN},V_{CN}. As fórmulas são
V_0 = \frac{V_{AN}+V_{BN}+V_{CN}}{3},\quad V_1 = \frac{V_{AN} + a\,V_{BN} + a^2\,V_{CN}}{3},\quad V_2 = \frac{V_{AN} + a^2\,V_{BN} + a\,V_{CN}}{3},
onde a=e^{j120^\circ}. Substituindo as fases simétricas:
V_{AN}+V_{BN}+V_{CN} = 254{,}03\bigl(1 + e^{-j120^\circ}+e^{+j120^\circ}\bigr)=0,
logo
V_0=0.
Análogo mostra que
V_2=0,\quad V_1 = V_{AN}=254{,}03\angle 0^\circ.
Para as tensões de linha, as componentes simétricas são
V_{0\,(lin)}=0,\quad V_{2\,(lin)}=0,\quad V_{1\,(lin)}=440\angle30^\circ.

Passo 5

Determinar o grau de desequilíbrio das tensões, definido como
\delta = \frac{|V_2|}{|V_1|}\times 100\%.
Aqui V_2=0, portanto
\delta = 0\%.

Resposta

As tensões de fase são
V_{AN}=254{,}03\angle0^\circ\text{ V},\quad V_{BN}=254{,}03\angle{-120}^\circ\text{ V},\quad V_{CN}=254{,}03\angle{+120}^\circ\text{ V}.
As tensões de linha são
V_{AB}=440\angle30^\circ\text{ V},\quad V_{BC}=440\angle{-90}^\circ\text{ V},\quad V_{CA}=440\angle150^\circ\text{ V}.
Componentes simétricas:
V_{0\,(\text{fase})}=0,\quad V_{1\,(\text{fase})}=254{,}03\angle0^\circ,\quad V_{2\,(\text{fase})}=0,
V_{0\,(\text{linha})}=0,\quad V_{1\,(\text{linha})}=440\angle30^\circ,\quad V_{2\,(\text{linha})}=0.
Grau de desequilíbrio \delta=0\%.

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