Calcule \mathbf{o ~ p H} de uma solução de \mathbf{1 0 0 0 ~ m m o l} \mathbf{L}^{\mathbf{- 1}} de HCN. \mathbf{K a} \boldsymbol{=} \mathbf{4 , 9} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{\boldsymbol{- 1 0}}.

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução de HCN com concentração 1000\\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} e constante de acidez \mathrm{K_a}=4,9\times10^{-10}. Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
  • Concentração inicial de HCN: 1000\\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}.
  • Constante de acidez: \mathrm{K_a}=4,9\times10^{-10}.
    O que se pede: calcular o valor de \mathrm{pH} da solução.

Passo 2

Primeiro converto a unidade da concentração para mol·L^{-1} (mais comum em cálculos de equilíbrio):
1000\\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} = 1000\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} = 1{,}0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Vou chamar a concentração inicial de ácido de C_0, então C_0=1{,}0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 3

Agora explico o equilíbrio químico e a definição de \mathrm{K_a}, passo a passo (sem pular etapas).
  • HCN é um ácido fraco que sofre dissociação:
\mathrm{HCN} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{CN^-}.
  • Se a concentração inicial de \mathrm{HCN} é C_0 e a dissociação é pequena, representamos a concentração de íons formados por x, isto é:
[\mathrm{H^+}] = x,\quad [\mathrm{CN^-}] = x,\quad [\mathrm{HCN}]_{\text{eq}} = C_0 - x.
  • A constante de acidez é definida por
\mathrm{K_a}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{CN^-}]}{[\mathrm{HCN}]}=\frac{x\cdot x}{C_0-x}=\frac{x^2}{C_0-x}.
  • Essa equação pode ser rearranjada para uma equação quadrática em x:
x^2 + \mathrm{K_a}\,x - \mathrm{K_a}\,C_0 = 0.
Resolver a quadrática dá a solução positiva física. Entretanto, para ácidos fracos normalmente usamos a aproximação x\ll C_0, que simplifica a expressão para
x\approx\sqrt{\mathrm{K_a}\,C_0}.
Vou usar essa aproximação, mas depois verifico se ela é válida.

Passo 4

Cálculo de x pela fórmula aproximada:
x\approx\sqrt{\mathrm{K_a}\,C_0}=\sqrt{4{,}9\times10^{-10}\times 1{,}0}=\sqrt{4{,}9\times10^{-10}}.
Faço a raiz separando o fator numérico e a potência de dez:
\sqrt{4{,}9\times10^{-10}}=\sqrt{4{,}9}\times10^{-5}.
Calculando \sqrt{4{,}9}: \sqrt{4{,}9}\approx2{,}2136. Logo
x\approx2{,}2136\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\approx2{,}21\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Verificação da validade da aproximação x\ll C_0:
\frac{x}{C_0}\approx\frac{2{,}21\times10^{-5}}{1{,}0}=2{,}21\times10^{-5}=0{,}00221\%.
Isso é muito, muito menor que 5\%, portanto a aproximação é perfeitamente válida e não é necessário resolver a quadrática exata.

Passo 6

Cálculo do \mathrm{pH}. Por definição,
\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]=- \log_{10}(x).
Substituindo x\approx2{,}2136\times10^{-5}:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\!\left(2{,}2136\times10^{-5}\right).
Usando a propriedade dos logaritmos:
\mathrm{pH} = -\bigl(\log_{10}(2{,}2136)+\log_{10}(10^{-5})\bigr)=5-\log_{10}(2{,}2136).
Agora aproximando \log_{10}(2{,}2136). Sabendo \log_{10}(2)\approx0{,}3010 e \log_{10}(2{,}2)\approx0{,}3424, para 2{,}2136 obtemos aproximadamente 0{,}3449. Portanto
\mathrm{pH}\approx5-0{,}3449=4{,}6551\approx4{,}66.

Resposta

\mathrm{pH}\approx4{,}66

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