Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \cos (4 t)\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função e^{-2 t}\cos(4t) para t\ge 0 e pede que eu encontre a sua transformada de Laplace, isto é, \mathcal{L}\{e^{-2 t}\cos(4t)\}(s).
Informações relevantes: a função é f(t)=e^{-2 t}\cos(4t) e o objetivo é obter F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Primeiro lembro (e explico) a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) definida para t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde t é a variável “tempo” (ou independente) e s é a variável complexa da transformada. Essa integral converge apenas quando a parte real de s for suficientemente grande (vamos identificar essa condição no final).

Passo 3

Há duas maneiras práticas de resolver: (A) calcular a integral direta usando uma fórmula de integrais exponenciais, ou (B) usar a propriedade de deslocamento no domínio de s (shift). Vou usar a propriedade de deslocamento porque é mais curta e pedagógica, mas mostro a ideia de por que ela vale.
Propriedade (deslocamento em s): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então para qualquer constante a
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Justificativa rápida: apliquei a definição e juntei exponenciais:
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
No nosso caso g(t)=\cos(4t) e a=-2, portanto vou precisar de G(s) para \cos(4t) e depois substituir s\mapsto s+2 (porque s-a = s-(-2)=s+2).

Passo 4

Agora lembro a transformada de Laplace de \cos(\omega t). Podemos obter essa fórmula com um cálculo simples usando exponencial complexa:
Se p for um número com \operatorname{Re}(p)>0, então
\int_{0}^{\infty} e^{-p t}\cos(\omega t)\,dt = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-p t} e^{i\omega t}\,dt\right) = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(p-i\omega)t}\,dt\right).
Como \operatorname{Re}(p-i\omega)=\operatorname{Re}(p)>0, a integral geométrica converge e
\int_{0}^{\infty} e^{-(p-i\omega)t}\,dt=\frac{1}{p-i\omega}.
Tomando a parte real:
\Re\!\left(\frac{1}{p-i\omega}\right)=\frac{p}{p^{2}+\omega^{2}}.
Logo, para \cos(\omega t) temos
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(p)=\frac{p}{p^{2}+\omega^{2}},\qquad \text{válido se }\operatorname{Re}(p)>0.á

Passo 5

Aplicando isso ao nosso problema: para \cos(4t) a transformada é (colocando \omega=4)
G(p)=\mathcal{L}\{\cos(4t)\}(p)=\frac{p}{p^{2}+16},\qquad \operatorname{Re}(p)>0.
Pela propriedade do deslocamento (Passo 3) com a=-2 devemos avaliar G em p=s+2. Ou seja,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(4t)\}(s)=G(s+2)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}.

Passo 6

Posso deixar a resposta também em forma expandida do denominador se você preferir manipular polinômios:
(s+2)^{2}+16 = s^{2}+4s+4+16 = s^{2}+4s+20,
então uma forma equivalente é
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(4t)\}(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+20}.

Passo 7

Condição de convergência (região de convergência): ao substituir p=s+2 usamos a condição \operatorname{Re}(p)>0, logo
\operatorname{Re}(s+2)>0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Re}(s)>-2.
Isso significa que a fórmula vale para todos os s complexos cuja parte real seja maior que -2.

Resposta

\displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}

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