Encontre
ou
como indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
para
e pede que eu encontre a sua transformada de Laplace, isto é,
.
Informações relevantes: a função é e o objetivo é obter
.
Informações relevantes: a função é
Passo 2
Primeiro lembro (e explico) a definição da transformada de Laplace. Para uma função
definida para
,
onde
é a variável “tempo” (ou independente) e
é a variável complexa da transformada. Essa integral converge apenas quando a parte real de
for suficientemente grande (vamos identificar essa condição no final).
Passo 3
Há duas maneiras práticas de resolver: (A) calcular a integral direta usando uma fórmula de integrais exponenciais, ou (B) usar a propriedade de deslocamento no domínio de
(shift). Vou usar a propriedade de deslocamento porque é mais curta e pedagógica, mas mostro a ideia de por que ela vale.
Propriedade (deslocamento em
): se
, então para qualquer constante
Justificativa rápida: apliquei a definição e juntei exponenciais:
No nosso caso
e
, portanto vou precisar de
para
e depois substituir
(porque
).
Passo 4
Agora lembro a transformada de Laplace de
. Podemos obter essa fórmula com um cálculo simples usando exponencial complexa:
Se
for um número com
, então
Como
, a integral geométrica converge e
Tomando a parte real:
Logo, para
temos
Passo 5
Aplicando isso ao nosso problema: para
a transformada é (colocando
)
Pela propriedade do deslocamento (Passo 3) com
devemos avaliar
em
. Ou seja,
Passo 6
Posso deixar a resposta também em forma expandida do denominador se você preferir manipular polinômios:
então uma forma equivalente é
Passo 7
Condição de convergência (região de convergência): ao substituir
usamos a condição
, logo
Isso significa que a fórmula vale para todos os
complexos cuja parte real seja maior que
.