Calcule
\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sen}(t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;t^{2}\sin(t)\;.
Informações dadas: a função que queremos transformar é \;f(t)=t^{2}\sin(t)\; e queremos \mathcal{L}\{f(t)\}(s). Não há outras condicionantes explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace: quando multiplicamos a função por potências de t isso se traduz em derivadas da transformada em relação a s. A fórmula geral é
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Explicando por que isso é verdade (caso n=1, ideia que estende por indução): escrevemos
F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
Derivando em s sob o sinal de integral (justificável por teoremas de convergência),
F'(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\frac{d}{ds}(e^{-st})\,dt=\int_{0}^{\infty} f(t)(-t)e^{-st}\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Logo \mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-F'(s). Repetindo a ideia (indução) obtemos a fórmula para qualquer n.

Passo 3

Identificamos f(t)=\sin(t). A transformada conhecida (ou obtida por integração) é
\mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Vou chamar F(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}=(s^{2}+1)^{-1}.

Passo 4

Pelo item anterior e pela propriedade com n=2 temos
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s)=(-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigg((s^{2}+1)^{-1}\bigg).
Portanto precisamos calcular a segunda derivada de F(s)=(s^{2}+1)^{-1}.

Passo 5

Calculemos a primeira derivada. Usando a regra da cadeia para F(s)=(s^{2}+1)^{-1}:
F'(s)=-1\cdot(s^{2}+1)^{-2}\cdot(2s)=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Agora a segunda derivada. Vou derivar F'(s)=-2s\,(s^{2}+1)^{-2} usando a regra do produto. Definindo u(s)=-2s e v(s)=(s^{2}+1)^{-2}:
u'(s)=-2,\qquad v'(s)=-2\,(s^{2}+1)^{-3}\cdot(2s)=-\frac{4s}{(s^{2}+1)^{3}}.
Logo, pela regra do produto,
F''(s)=u'(s)v(s)+u(s)v'(s)=-2\,(s^{2}+1)^{-2}+(-2s)\left(-\frac{4s}{(s^{2}+1)^{3}}\right).
Simplificando os termos:
F''(s)=-\frac{2}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}.
Colocando em denominador comum (s^{2}+1)^{3}:
F''(s)=\frac{-2(s^{2}+1)+8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}=\frac{-2s^{2}-2+8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}=\frac{6s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}}.
Fatorando 2 no numerador:
F''(s)=\frac{2(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Passo 7

Portanto, usando a propriedade do Passo 2, concluímos que
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s)=F''(s)=\frac{2(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

\displaystyle \frac{2\left(3s^{2}-1\right)}{(s^{2}+1)^{3}}

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