Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função que queremos transformar é e queremos
. Não há outras condicionantes explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função que queremos transformar é
Passo 2
Vamos usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace: quando multiplicamos a função por potências de
isso se traduz em derivadas da transformada em relação a
. A fórmula geral é
onde
.
Explicando por que isso é verdade (caso , ideia que estende por indução): escrevemos
Explicando por que isso é verdade (caso
Derivando em
sob o sinal de integral (justificável por teoremas de convergência),
Logo
. Repetindo a ideia (indução) obtemos a fórmula para qualquer
.
Passo 3
Identificamos
. A transformada conhecida (ou obtida por integração) é
válida para
. Vou chamar
.
Passo 4
Pelo item anterior e pela propriedade com
temos
Portanto precisamos calcular a segunda derivada de
.
Passo 5
Calculemos a primeira derivada. Usando a regra da cadeia para
:
Passo 6
Agora a segunda derivada. Vou derivar
usando a regra do produto. Definindo
e
:
Logo, pela regra do produto,
Simplificando os termos:
Colocando em denominador comum
:
Fatorando
no numerador:
Passo 7
Portanto, usando a propriedade do Passo 2, concluímos que
válido para
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!