O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,t^{3}e^{-t}\,.
Informações dadas: a função é \,f(t)=t^{3}e^{-t}\, para t\ge 0. A notação é \mathcal{L}\{\,\cdot\,\}, ou seja queremos \mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\}(s).
Passo 2
Vou usar uma propriedade muito prática das transformadas de Laplace: multiplicar por uma exponencial \,e^{-at}\, desloca a variável s na transformada. Essa propriedade reduz o problema a calcular a transformada de \,t^{3}\, e depois substituir s por s+1. Explico e demonstro a propriedade no passo seguinte, e em seguida eu calculo \mathcal{L}\{t^{3}\} de forma explícita (por partes), para você ver como fazer na prova sem pular etapas.
Passo 3
Prova da propriedade de deslocamento: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
onde assumimos \Re(s)>0 para garantir convergência. Aplicando integração por partes uma vez: escolha u=t^{3} e dv=e^{-st}dt. Então du=3t^{2}dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
Repita integração por partes para \int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt. Seja J(s)=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt. Com u=t^{2}, du=2t\,dt, dv=e^{-st}dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}, obtém-se