Calcule
\mathcal{L}\left\{e^{3 t} \cos (2 t)\right\}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função \displaystyle e^{3 t}\cos(2 t).
Informações dadas:
\text{função: } f(t)=e^{3t}\cos(2t),\quad t\ge 0.çã
Constantes presentes: o expoente 3 e a frequência angular 2.

Passo 2

Definição que vamos usar (é a base da transformada de Laplace): para uma função f(t) definida em t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada (geralmente complexa). Para a integral convergir precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido quando t\to\infty; isso vai aparecer como uma condição na parte final (região de convergência).

Passo 3

Propriedade útil (deslocamento exponencial): se g(t) tem transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Prova rápida dessa propriedade: usando a definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
A convergência ficará garantida quando s-a estiver na região de convergência de G.

Passo 4

Aplicamos a propriedade com a=3 e g(t)=\cos(2t). Primeiro precisamos da transformada de \cos(2t). Vamos calcular \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s) de forma direta (aqui \omega=2).
Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt,\qquad J=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(\omega t)\,dt,
assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para que os termos de borda se anulem. Fazendo integração por partes em I (tomando u=\cos(\omega t), dv=e^{-st}dt) obtemos
I=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}J.
Fazendo integração por partes em J (com u=\sin(\omega t), dv=e^{-st}dt) obtemos
J=\frac{\omega}{s}I.
Substituindo J em I:
I=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\cdot\frac{\omega}{s}I=\frac{1}{s}-\frac{\omega^{2}}{s^{2}}I.
Isolando I:
I\left(1+\frac{\omega^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Portanto, para \omega=2,
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Agora aplicamos o deslocamento exponencial com a=3: substituir s por s-3 na transformada de \cos(2t). Assim
\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\}(s)=\frac{s-3}{(s-3)^{2}+4}.
A região de convergência é obtida exigindo \operatorname{Re}(s-3)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\displaystyle \frac{s-3}{(s-3)^{2}+4}
\displaystyle \operatorname{Re}(s)>3

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