Calcule
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Constantes presentes: o expoente
e a frequência angular
.
Passo 2
Definição que vamos usar (é a base da transformada de Laplace): para uma função
definida em
,
onde
é a variável da transformada (geralmente complexa). Para a integral convergir precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido quando
; isso vai aparecer como uma condição na parte final (região de convergência).
Passo 3
Propriedade útil (deslocamento exponencial): se
tem transformada
, então
Prova rápida dessa propriedade: usando a definição,
A convergência ficará garantida quando
estiver na região de convergência de
.
Passo 4
Aplicamos a propriedade com
e
. Primeiro precisamos da transformada de
. Vamos calcular
de forma direta (aqui
).
Defina
assumindo
para que os termos de borda se anulem. Fazendo integração por partes em
(tomando
,
) obtemos
Fazendo integração por partes em
(com
,
) obtemos
Substituindo
em
:
Isolando
:
Portanto, para
,
Passo 5
Agora aplicamos o deslocamento exponencial com
: substituir
por
na transformada de
. Assim
A região de convergência é obtida exigindo
, ou seja
.