E. 1 Calcule:
,
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.\n
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
Não há outros dados numéricos no enunciado. Precisaremos de
em função de
e também indicar para quais valores de
a integral converge.
Passo 2
Escolha do método: a propriedade de deslocamento no domínio de
(frequência) torna esse cálculo bem curto: se conhecemos
, então
é obtido substituindo
por
. Vou usar esse método porque é direto e rápido na prova. Para ficar didático, também vou deduzir
por integração por partes para você aprender a calcular do zero.
Passo 3
Definição da transformada de Laplace e condição de convergência: para uma função
com
,
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir (tipicamente exigimos
grande o suficiente).
Passo 4
Propriedade de deslocamento (deslocamento em
): mostro por que
onde
. Pela definição,
Mas o lado direito é exatamente
. Portanto, para
,
Passo 5
Cálculo de
por integração por partes (para termos uma fórmula base). Queremos
Faremos integração por partes duas vezes. Primeiro, tome
Aplicando integração por partes:
Aqui devemos verificar o termo de fronteira. Para
temos
decaindo exponencialmente e
quando
; no
o termo é zero. Logo o termo de fronteira é
, e
Agora calcule
por integração por partes novamente. Tome
Então
Novamente o termo de fronteira é zero para
. A integral restante é a transformada de
:
Portanto
Voltando para
,
Assim, para
,
Obs.: essa é uma fórmula particular da regra geral
para
inteiro não negativo.
Passo 6
Aplicando a propriedade de deslocamento com
: se
, então
Passo 7
Condição de convergência: a transformação
exige
. Ao substituir
a condição fica
, ou seja
Portanto a fórmula vale para
.