E. 1 Calcule:
\mathcal{L}\left\{t^{2} e^{-t}\right\},

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \mathcal{L}\{t^{2} e^{-t}\}.\n
Informações dadas e observações iniciais:
\text{função: }f(t)=t^{2}e^{-t},\qquad t\ge 0.çã
Não há outros dados numéricos no enunciado. Precisaremos de \mathcal{L} em função de s e também indicar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Escolha do método: a propriedade de deslocamento no domínio de s (frequência) torna esse cálculo bem curto: se conhecemos \mathcal{L}\{t^{2}\}(s), então \mathcal{L}\{e^{-t}t^{2}\}(s) é obtido substituindo s por s+1. Vou usar esse método porque é direto e rápido na prova. Para ficar didático, também vou deduzir \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) por integração por partes para você aprender a calcular do zero.

Passo 3

Definição da transformada de Laplace e condição de convergência: para uma função g(t) com t\ge 0,
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir (tipicamente exigimos \operatorname{Re}(s) grande o suficiente).

Passo 4

Propriedade de deslocamento (deslocamento em s): mostro por que
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s). Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt.
Mas o lado direito é exatamente G(s-a). Portanto, para a=-1,
\mathcal{L}\{e^{-t} g(t)\}(s)=G(s+1).

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) por integração por partes (para termos uma fórmula base). Queremos
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2}\,dt.
Faremos integração por partes duas vezes. Primeiro, tome
u=t^{2},\qquad dv=e^{-s t}dt \quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:
I(s)=\left.u\cdot v\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du =\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt.
Aqui devemos verificar o termo de fronteira. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-s t} decaindo exponencialmente e t^{2}e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty; no t=0 o termo é zero. Logo o termo de fronteira é 0, e
I(s)=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt.
Agora calcule J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt por integração por partes novamente. Tome
u=t,\qquad dv=e^{-s t}dt\quad\Rightarrow\quad du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Então
J(s)=\left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Novamente o termo de fronteira é zero para \operatorname{Re}(s)>0. A integral restante é a transformada de 1:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\quad\text{(para \(\operatorname{Re}(s)>0\))}.
Portanto
J(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando para I(s),
I(s)=\frac{2}{s}J(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Assim, para \operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.
Obs.: essa é uma fórmula particular da regra geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não negativo.

Passo 6

Aplicando a propriedade de deslocamento com a=-1: se G(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}, então
\mathcal{L}\{e^{-t}t^{2}\}(s)=G(s+1)=\frac{2}{(s+1)^{3}}.

Passo 7

Condição de convergência: a transformação \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) exige \operatorname{Re}(s)>0. Ao substituir s\mapsto s+1 a condição fica \operatorname{Re}(s+1)>0, ou seja
\operatorname{Re}(s)>-1.
Portanto a fórmula vale para \operatorname{Re}(s)>-1.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{(s+1)^{3}},\\ \operatorname{Re}(s)>-1

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