E. 1 Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
, ou seja, encontrar
.
Informações dadas: a função a transformar é definida para
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
(comportamento adequado para
), a transformada de Laplace é
onde
é uma variável complexa. Aqui vou considerar
real e com
para garantir convergência; mais rigorosamente a região de convergência é
neste caso, porque
é limitada.
Passo 3
Aplicamos a definição ao caso
. Assim queremos calcular
Este é um integral impróprio; vamos primeiro tratar o integral definido até
e depois tomar o limite
:
Passo 4
Para calcular
é prático usar integração por partes duas vezes, introduzindo também o integral com
. Definimos
Fazendo integração por partes em
(tomando
,
) obtemos
e
. Assim
Passo 5
Agora integramos por partes em
(tomando
,
). Com isso
e
. Assim
Passo 6
Substituímos a expressão de
em
. Temos
Distribuindo e organizando os termos obtemos
Isolando
no lado esquerdo:
Portanto a primitiva é
Passo 7
Voltamos ao integral impróprio definido: precisamos avaliar a expressão entre
e
e tomar o limite. Para
temos
quando
, então a contribuição no infinito é zero. Avaliando em
(onde
,
,
) obtemos o valor
Simplificando:
válido para
(no caso real,
).
Passo 8
Comentário didático rápido: existe uma fórmula padrão muito útil que diz
para
. Aqui
, portanto substituindo direto obtemos o mesmo resultado de forma rápida:
.