E. 1 Calcule:
\mathcal{L}\left\{\cos 5 t\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \cos 5t, ou seja, encontrar \mathcal{L}\{\cos 5t\}.
Informações dadas: a função a transformar é \cos 5t definida para t\ge0. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) (comportamento adequado para t\ge0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Aqui vou considerar s real e com s>0 para garantir convergência; mais rigorosamente a região de convergência é \operatorname{Re}(s)>0 neste caso, porque \cos 5t é limitada.

Passo 3

Aplicamos a definição ao caso f(t)=\cos 5t. Assim queremos calcular
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(5t)\,dt.
Este é um integral impróprio; vamos primeiro tratar o integral definido até R e depois tomar o limite R\to\infty:
I(s)=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-st}\cos(5t)\,dt.

Passo 4

Para calcular \int e^{-st}\cos(5t)\,dt é prático usar integração por partes duas vezes, introduzindo também o integral com \sin. Definimos
I=\int e^{-st}\cos(5t)\,dt,\qquad J=\int e^{-st}\sin(5t)\,dt.
Fazendo integração por partes em I (tomando u=\cos(5t), dv=e^{-st}dt) obtemos v=-\dfrac{e^{-st}}{s} e du=-5\sin(5t)\,dt. Assim
I=-\frac{e^{-st}\cos(5t)}{s}-\frac{5}{s}J.

Passo 5

Agora integramos por partes em J (tomando u=\sin(5t), dv=e^{-st}dt). Com isso v=-\dfrac{e^{-st}}{s} e du=5\cos(5t)\,dt. Assim
J=-\frac{e^{-st}\sin(5t)}{s}+\frac{5}{s}I.

Passo 6

Substituímos a expressão de J em I. Temos
I=-\frac{e^{-st}\cos(5t)}{s}-\frac{5}{s}\left(-\frac{e^{-st}\sin(5t)}{s}+\frac{5}{s}I\right).
Distribuindo e organizando os termos obtemos
I=-\frac{e^{-st}\cos(5t)}{s}+\frac{5e^{-st}\sin(5t)}{s^{2}}-\frac{25}{s^{2}}I.
Isolando I no lado esquerdo:
I\left(1+\frac{25}{s^{2}}\right)=\frac{s^{2}}{s^{2}+25}\,I=\left(-\frac{e^{-st}\cos(5t)}{s}+\frac{5e^{-st}\sin(5t)}{s^{2}}\right).
Portanto a primitiva é
I=\frac{s^{2}}{s^{2}+25}\left(-\frac{e^{-st}\cos(5t)}{s}+\frac{5e^{-st}\sin(5t)}{s^{2}}\right).

Passo 7

Voltamos ao integral impróprio definido: precisamos avaliar a expressão entre t=0 e t\to\infty e tomar o limite. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-st}\to0 quando t\to\infty, então a contribuição no infinito é zero. Avaliando em t=0 (onde e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0) obtemos o valor
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(5t)\,dt = 0 - \frac{s^{2}}{s^{2}+25}\left(-\frac{1\cdot1}{s}+\frac{5\cdot0}{s^{2}}\right) = \frac{s^{2}}{s^{2}+25}\cdot\frac{1}{s}.
Simplificando:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(5t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+25},
válido para \operatorname{Re}(s)>0 (no caso real, s>0).

Passo 8

Comentário didático rápido: existe uma fórmula padrão muito útil que diz
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui a=5, portanto substituindo direto obtemos o mesmo resultado de forma rápida: \dfrac{s}{s^{2}+25}.

Resposta

\dfrac{s}{s^{2}+25}

Exercícios relacionados