E. 1 Calcule:
,
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
.
Informações dadas: a função é definida para
. A notação
indica a transformada que devo calcular. Não há outras condições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição e ideia principal (explicação básica que você precisa entender). A transformada que vamos usar é definida por
onde
é a variável (em geral complexa) da transformada. Essa integral é imprópria porque o limite superior é infinito; portanto precisamos garantir que a integral converge. Convergência aqui significa que o integrando decai rápido o suficiente quando
para que a área total seja finita.
Passo 3
Substituo
na definição. Isso dá a integral
Faço a simplificação dos expoentes (regra:
):
Passo 4
Trato a integral como uma integral imprópria por limite. Defino
e depois vou tomar o limite
. Calculo a primitiva de
. Se
, uma primitiva é
. Assim,
Passo 5
Agora tomo o limite
. Para que
tenda a zero quando
é necessário que a parte real de
seja positiva, isto é
(se
for real, basta
). Quando essa condição vale, obtemos
Se
a integral diverge (por exemplo, para
o integrando é
e a área é infinita; para
o integrando cresce exponencialmente).
Passo 6
Resumo didático e exemplo numérico rápido: o resultado é a função
definida para
. Exemplos numéricos simples: para
temos
; para
temos
. Isso confirma que a fórmula funciona e o domínio faz sentido.