E. 1 Calcule:
\mathcal{L}\left\{e^{3 t}\right\},

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \mathcal{L}\{e^{3t}\}.
Informações dadas: a função é \,e^{3t}\, definida para t\ge 0. A notação \mathcal{L}\{\cdot\} indica a transformada que devo calcular. Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Definição e ideia principal (explicação básica que você precisa entender). A transformada que vamos usar é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é a variável (em geral complexa) da transformada. Essa integral é imprópria porque o limite superior é infinito; portanto precisamos garantir que a integral converge. Convergência aqui significa que o integrando decai rápido o suficiente quando t\to\infty para que a área total seja finita.

Passo 3

Substituo f(t)=e^{3t} na definição. Isso dá a integral
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{3t}\,dt.
Faço a simplificação dos expoentes (regra: e^{a}e^{b}=e^{a+b}):
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{3t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt.

Passo 4

Trato a integral como uma integral imprópria por limite. Defino
I(A)=\int_{0}^{A} e^{-(s-3)t}\,dt
e depois vou tomar o limite A\to\infty. Calculo a primitiva de e^{-(s-3)t}. Se s-3\neq 0, uma primitiva é -\dfrac{1}{s-3}e^{-(s-3)t}. Assim,
I(A)=\left[-\frac{1}{s-3}e^{-(s-3)t}\right]_{t=0}^{t=A}=\frac{1}{s-3}\bigl(1-e^{-(s-3)A}\bigr).

Passo 5

Agora tomo o limite A\to\infty. Para que e^{-(s-3)A} tenda a zero quando A\to\infty é necessário que a parte real de s-3 seja positiva, isto é \Re(s-3)>0 (se s for real, basta s>3). Quando essa condição vale, obtemos
\lim_{A\to\infty} I(A)=\frac{1}{s-3}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{s-3}.
Se \Re(s)\le 3 a integral diverge (por exemplo, para s=3 o integrando é 1 e a área é infinita; para \Re(s)<3 o integrando cresce exponencialmente).

Passo 6

Resumo didático e exemplo numérico rápido: o resultado é a função \dfrac{1}{s-3} definida para \Re(s)>3. Exemplos numéricos simples: para s=4 temos \mathcal{L}\{e^{3t}\}(4)=\dfrac{1}{4-3}=1; para s=5 temos \dfrac{1}{2}. Isso confirma que a fórmula funciona e o domínio faz sentido.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{3t}\}=\frac{1}{s-3},\\ \Re(s)>3

Exercícios relacionados