onde r é um expoente a determinar (chama-se indicial exponento) e os a_n são coeficientes a determinar por recorrência.
Esse ansatz permite capturar comportamentos x^r que não apareciam no método da série de potências usual. Agora vamos calcular y' e y'' para usar na equação.
Passo 3
Calcular derivadas da série (explicando cada passo).
Agora as potências x^{r} (caso n=0) aparecem somente na primeira soma; as potências x^{n+r} para n\ge 1 recebem termos das duas somas.
Passo 5
Obter a equação indicial (explicando o que é).
Coeficiente de x^{r} (termo n=0 na soma principal) fornece a equação indicial:
a_0\big[r(r+1)-4\big]=0.
Como a_0\neq 0, obtemos a equação para r:
r(r+1)-4=0.
Resolver a quadrática:
r^2 + r - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.
Chamemos r_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} e r_2=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}. Note que r_1-r_2=\sqrt{17} não é inteiro, então teremos duas soluções de Frobenius independentes com esses expoentes.
Passo 6
Derivar a recorrência para os coeficientes a_n.
Para n\ge 1, igualando coeficientes de x^{n+r} obtemos
(Observe que em vários passos usamos r(r+1)=4 para simplificar o denominador, o que explica as cancelas rápidas.)
Esses cálculos mostram um padrão que podemos escrever em forma fechada usando produto.
Passo 8
Expressão geral fechada dos coeficientes usando produto e Pochhammer (explicando o que é).
com a_0 constante arbitrária. É comum escolher a_0=1 para obter a série normalizada; outra constante multiplicativa será absorvida nos coeficientes da combinação linear final.
Passo 9
Escrever as duas soluções independentes e a solução geral (explicando independência).
Como as raízes r_1 e r_2 são distintas e diferem por número não inteiro, obtemos duas soluções independentes por Frobenius:
onde r_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} e r_2=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}.
A solução geral é combinação linear das duas:
y(x)=C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x),
com constantes arbitrárias C_1,C_2.
Observação intuitiva: cada série converge numa certa vizinhança de x=0 (sérias de potências), e x^{r_1} e x^{r_2} fornecem os comportamentos singulares se r_i não forem inteiros positivos.