O enunciado dá a função r(t) periódica de período 2 e pede sua transformada de Laplace \mathcal{L}[r(t)]. As informações que temos são:
Para todo k\in\mathbb{N}:
r(t)=1 quando 2k<t<2k+1.
r(t)=0 quando 2k+1<t<2k+2.
A função é 2-periódica, ou seja r(t+2)=r(t) para todo t.
O enunciado sugere a identidade (com alguma notação de degrau) r(t)=1-\mu_{1}(t)+\mu_{2}(t)\,r(t-2), mas aqui vou usar a representação clássica com funções degrau (Heaviside) para montar a solução.
Passo 2
Lembrete rápido do que é a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar:
Definição: \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt, quando a integral converge.
Transformada do degrau: para a\ge 0,\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\int_{a}^{\infty}e^{-st}\,dt=\frac{e^{-as}}{s},onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (vale 0 para t<a e 1 para t>a).
Essas fórmulas valem para \Re(s)>0 (condição de convergência que usaremos).
Passo 3
Representação de r(t) como soma de degraus (isso descreve os pulsos “ligado” em cada intervalo (2k,2k+1)):
Explicação: cada termo u(t-2k)-u(t-(2k+1)) vale 1 para 2k<t<2k+1 e 0 fora desse intervalo; somando sobre k obtemos exatamente a função periódica descrita pelo enunciado. (A soma começa em k=0 porque a transformada de Laplace integra a partir de t=0.)
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo (pela linearidade) e usando \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}, obtemos:
aplicando com T=2 e f=r temos \int_0^2 e^{-st}r(t)\,dt=\int_0^1 e^{-st}\,dt=(1-e^{-s})/s, e a fórmula dá exatamente o mesmo resultado encontrado acima. Isso confirma a resposta.