Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações dadas e pontos importantes a notar:
- A integral é imprópria tanto no limite superior (
) quanto pela singularidade aparente em . - O parâmetro
aparece multiplicando no argumento do seno. O objetivo é demonstrar que, para todo , o valor da integral é .
Passo 2
Primeiro vamos eliminar o parâmetro
por uma mudança de variável simples, para reduzir o problema a uma única integral padrão. Fazendo a substituição
temos
e
. Substituindo na integral:
Portanto a integral é independente de
e basta provar que
Passo 3
Para avaliar
vamos usar um truque padrão: inserir um fator de amortecimento exponencial e depois retirar esse amortecimento. Defina, para
,
Esse integral converge absolutamente para todo
: perto de
tem-se
(não há divergência forte) e quando
o fator
garante decaimento rápido. Note que a integral original é recuperada tomando o limite
:
Passo 4
Vamos calcular
diferenciando em relação a
. A derivada sob o sinal de integral é justificada porque, para
, a função
é integrável em
; portanto pode-se aplicar a regra de diferenciação sob o sinal de integral (teorema de Leibniz / converge dominada). Assim:
Passo 5
Calculemos agora a integral
Uma forma curta é usar exponenciais complexas: note que
porque
garante que o termo em
some. Tomando a parte imaginária desse resultado obtemos
. Escrevendo
a parte imaginária é
. Portanto
Passo 6
Substituindo em
obtemos
Integrando em
,
onde
é constante independente de
.
Passo 7
Determinar a constante
. Observe que, para
, o fator
tende a zero uniformemente exceto em
muito próximos de zero, e de fato
porque o amortecimento anula toda contribuição. Também
. Assim
Logo
Passo 8
Finalmente tomamos o limite
para recuperar a integral sem amortecimento:
Passo 9
Voltando ao problema original: pela Passo 2 mostramos que, para
,
Portanto a igualdade desejada está demonstrada.