onde, para garantir convergência no contexto de provas elementares, tomamos s>0. Como f é de suporte compacto (nul a partir de t=2), a integral é bem definida para todo s complexo, mas aqui consideramos s>0 para ficar claro.
Passo 3
Como f(t)=0 para t>2, a integral até infinity reduz a integral de 0 a 2. Separando as partes onde f tem expressões diferentes:
Para o segundo, usamos a primitiva já encontrada ao fazer integração por partes (veja Passo 4): uma primitiva de t e^{-st} é -e^{-st}\bigl(\dfrac{t}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\bigr). Assim
Interpretação rápida e dica para prova: o resultado compacto \dfrac{(1-e^{-s})^{2}}{s^{2}} mostra que a transformada fica bem simples após a simplificação. Em prova, ao ver uma função com suporte em [0,2] e forma triangular, vale a pena tentar separar integrais por partes e procurar fatores exponenciais semelhantes para fatorar no final. Força aí — dá pra entender e calcular passo a passo.