Calcule:
\mathcal{L}(f(t)), onde
f(t)=\left\{\begin{array}{l}t, \text { se } 0 \leq t \leq 1 \\\\ 2-t, \text { se } 1<t \leq 2 \\\\ 0, \text { se } t>2\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \mathcal{L}(f(t)), a transformada de Laplace da função f.
Informações fornecidas (a função é definida por partes):
f(t)=\begin{cases} t, & \text{se } 0\le t\le 1,\\[4pt] 2-t, & \text{se } 1<t\le 2,\\[4pt] 0, & \text{se } t>2. \end{cases}]

Passo 2

Definição que vamos usar (aula rápida de Laplace): a transformada de Laplace de f é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt,
onde, para garantir convergência no contexto de provas elementares, tomamos s>0. Como f é de suporte compacto (nul a partir de t=2), a integral é bem definida para todo s complexo, mas aqui consideramos s>0 para ficar claro.

Passo 3

Como f(t)=0 para t>2, a integral até infinity reduz a integral de 0 a 2. Separando as partes onde f tem expressões diferentes:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt \;+\; \int_{1}^{2} (2-t)\,e^{-st}\,dt.
Chamemos a primeira integral de I_1 e a segunda de I_2.

Passo 4

Cálculo de I_1=\displaystyle\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt. Vamos usar integração por partes. Fórmula:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=t (então du=dt) e dv=e^{-st}dt (então v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}). Aplicando e avaliando de 0 a 1:
I_1=\left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} + \frac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
Avalio os termos: a primeira parte dá -\dfrac{1}{s}e^{-s}-0. A integral restante é
\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt=\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1}=-\frac{1}{s}(e^{-s}-1)=\frac{1}{s}(1-e^{-s}).
Portanto
I_1=-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}(1-e^{-s}) =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}.
Reorganizando em forma compacta,
I_1=\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 5

Cálculo de I_2=\displaystyle\int_{1}^{2} (2-t)\,e^{-st}\,dt. Separe em dois termos:
I_2=2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt - \int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt.
Calcule o primeiro:
2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt=2\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{1}^{2}=\frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr).
Para o segundo, usamos a primitiva já encontrada ao fazer integração por partes (veja Passo 4): uma primitiva de t e^{-st} é -e^{-st}\bigl(\dfrac{t}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\bigr). Assim
\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt=\left.-e^{-st}\Bigl(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr)\right|_{1}^{2}.
Avalio:
\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt = -e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr) + e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr).
Agora junte para obter I_2:
I_2=\frac{2}{s}(e^{-s}-e^{-2s}) \;-\; \Bigl[-e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr) + e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr)\Bigr].
Simplificando termo a termo obtemos
I_2=\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 6

Some I_1 e I_2:
\mathcal{L}\{f\}(s)=I_1+I_2 =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}} \;+\; \frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.
Combine os termos com e^{-s} e com e^{-2s}:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 -2e^{-s} + e^{-2s}}{s^{2}}.
Reconhecendo um quadrado perfeito no numerador,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: o resultado compacto \dfrac{(1-e^{-s})^{2}}{s^{2}} mostra que a transformada fica bem simples após a simplificação. Em prova, ao ver uma função com suporte em [0,2] e forma triangular, vale a pena tentar separar integrais por partes e procurar fatores exponenciais semelhantes para fatorar no final. Força aí — dá pra entender e calcular passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}

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