Sejam X, Y \subset \mathbb{R}.
a) Prove que \overline{X \cup Y}=\overline{X \cup} \bar{Y}.
b) Prove que \overline{X \cap Y} \subset \bar{X} \cap \bar{Y}.
c) Dê exemplo em que \overline{X \cap Y} \neq \bar{X} \cap \bar{Y}.
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos X,Y\subset\mathbb{R} e pede três coisas:
(a) Mostrar que \overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
(b) Mostrar que \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
(c) Dar um exemplo concreto em que \overline{X\cap Y}\neq\overline{X}\cap\overline{Y}.
Informações relevantes que temos/assumimos: X e Y são conjuntos quaisquer de números reais; a barra \overline{(\cdot)} denota o fecho (closure) do conjunto. A solução seguirá a partir da definição e propriedades básicas do fecho; nada mais é pedido.
Passo 2
Definição e ideias úteis (explicação didática).
Definição via menor fechado que contém o conjunto: \overline{A} é o menor conjunto fechado que contém A. Isso significa que \overline{A} é fechado, contém A, e se C é qualquer conjunto fechado com A\subset C então \overline{A}\subset C.
Aqui “fechado” significa que o complemento é aberto (no sentido usual em \mathbb{R}).
Definição via pontos-limite (útil para intuição): \overline{A}=A\cup A', onde A' é o conjunto de pontos-limite de A. Um ponto x é ponto-limite de A se toda vizinhança de x intercepta A em algum ponto diferente de x.
Propriedade simples e muito usada: se A\subset B então \overline{A}\subset\overline{B}. Isso decorre direto da definição do fecho como menor fechado contendo o conjunto.
Vou usar essas ideias passo a passo para provar (a) e (b), e depois dar o exemplo para (c).
Passo 3
Prova de (a) — primeira inclusão (mais direta):
Mostramos que
Justificativa: temos X\subset X\cup Y e Y\subset X\cup Y. Pela propriedade monotonicidade do fecho, \overline{X}\subset\overline{X\cup Y} e \overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}. Tomando união das duas inclusões obtemos
Observação importante: \overline{X} e \overline{Y} são conjuntos fechados (por definição do fecho). A união finita de conjuntos fechados é fechada; em particular, \overline{X}\cup\overline{Y} é fechada. Além disso, claramente X\subset\overline{X}\subset\overline{X}\cup\overline{Y} e Y\subset\overline{Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}, portanto
X\cup Y\subset\overline{X}\cup\overline{Y}.
Agora usamos a definição do fecho como o menor conjunto fechado que contém X\cup Y: como \overline{X}\cup\overline{Y} é um conjunto fechado que contém X\cup Y, a menor opção — \overline{X\cup Y} — está contida nele. Logo
Razão simples: X\cap Y\subset X, então pela monotonicidade do fecho \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}. Do mesmo modo X\cap Y\subset Y implica \overline{X\cap Y}\subset\overline{Y}. Tomando interseção dessas duas inclusões resulta
Alternativa via pontos-limite (intuição): qualquer ponto-limite de X\cap Y é ponto-limite tanto de X quanto de Y, então pertence a \overline{X}\cap\overline{Y}.
Passo 7
Exemplo que mostra que inclusão de (b) pode ser estrita (parte (c)):
Escolho conjuntos em \mathbb{R}:
Portanto \overline{X\cap Y}=\varnothing\neq\{1\}=\overline{X}\cap\overline{Y}, mostrando que a inclusão em (b) pode ser estrita. Intuição: pontos de contato (como 1) podem estar apenas no fecho dos conjuntos separados, sem estarem no fecho da interseção (que pode ser vazia).
Resposta
(a) \overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
(b) \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
(c) Exemplo: X=(0,1),\;Y=(1,2). Então \overline{X\cap Y}=\varnothing e \overline{X}\cap\overline{Y}=\{1\}, logo são diferentes.