Prove que, para todo
:
é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove a equivalência: “para todo conjunto
,
é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação”.
Informações dadas: o conjunto é um subconjunto dos reais
.
O que é pedido: demonstrar as duas direções da equivalência
Informações dadas: o conjunto
O que é pedido: demonstrar as duas direções da equivalência
Não vou resolver nada neste passo, apenas identifiquei o que é pedido e o que tenho como dado.
Passo 2
Definição fundamental 1 — ponto de acumulação (limite): explico com calma. Dizemos que um ponto
é ponto de acumulação de
se, para todo
, a vizinhança aberta
contém algum ponto de
diferente de
. Em símbolos:
Aqui
é um número positivo que representa o “tamanho” da vizinhança; a condição diz que não importa quão pequena a vizinhança ao redor de
seja, ela sempre contém algum ponto de
diferente de
.
Definição fundamental 2 — conjunto fechado: explico também. Um conjunto
é dito fechado se o seu complementar
é aberto. E “aberto” significa que todo ponto do conjunto aberto tem uma vizinhança inteira contida nesse conjunto. Em símbolos:
e
Vou usar essas definições nas provas das duas direções.
Passo 3
Prova da primeira implicação: se
é fechado então contém todos os seus pontos de acumulação.
Suponha fechado e seja
um ponto de acumulação de
. Vou mostrar que
. Faço por contradição: suponha
. Então
. Como
é aberto (pois
é fechado), existe
tal que
Suponha
Isto significa que a vizinhança
não contém pontos de
. Mas isso contradiz diretamente a definição de ponto de acumulação, que exige que toda vizinhança de
contenha um ponto de
diferente de
. Logo a hipótese
é absurda, e portanto
. Conclusão: todo ponto de acumulação de
está em
.
Comentário didático curto sobre a direção anterior: a ideia é intuitiva — se
é fechado, seu exterior tem “folga” ao redor de cada ponto do exterior; logo não é possível que um ponto do exterior seja limite de pontos de
. Esse é o núcleo da contradição usada.
Passo 4
Prova da segunda implicação: se
contém todos os seus pontos de acumulação então
é fechado.
Quero mostrar que é aberto. Pegue qualquer ponto
. Vou provar que existe
tal que
. Suponha, para chegar a uma contradição, que isso não aconteça: então, para todo
(ou para todo
) a vizinhança
contém algum ponto de
. Em particular, isso significa que toda vizinhança de
intersecta
; pelo que escrevi na definição de ponto de acumulação, isso significa que
é um ponto de acumulação de
. Pela hipótese da implicação, todo ponto de acumulação pertence a
; portanto
. Mas isso contradiz a escolha de
em
. Logo nossa suposição está errada e existe
tal que
Quero mostrar que
ou seja,
Isso prova que cada
tem uma vizinhança inteira contida no complementar, portanto
é aberto e, por definição,
é fechado.
Passo 5
Versão alternativa (útil na prova de provas e em exercícios): caracterização por sequências. Explico a ideia e dou um esboço. Um conjunto
é fechado se e somente se toda sequência
com
que converge em
tem seu limite em
. A relação com pontos de acumulação:
é ponto de acumulação de
exatamente quando existe uma sequência
com
e
. Usando essa caracterização, as duas direções ficam naturais: se
é fechado, então limites de sequências em
pertencem a
, logo pontos de acumulação (que são limites de sequências distintas de
) pertencem a
. E se
contém todos seus pontos de acumulação, então qualquer sequência em
que converge tem limite que é ou elemento da sequência (logo em
) ou um ponto de acumulação (também em
); assim
é fechado.
Esta é uma prova equivalente, às vezes mais prática.
Passo 6
Conclusão e incentivo final: juntei as duas implicações e mostrei que elas são verdadeiras usando definições claras (vizinhanças/aberto/fechado) e, se você preferir, pode ver a mesma equivalência via sequências. Se ficou meio abstrato, tente fazer um exemplo concreto:
contém seus pontos de acumulação
e é fechado;
tem pontos de acumulação
que não estão todos em
, então não é fechado — isso ajuda a fixar a intuição.