Prove que, para todo X \subset R :
X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove a equivalência: “para todo conjunto X \subset \mathbb{R}, X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação”.
Informações dadas: o conjunto X é um subconjunto dos reais \mathbb{R}.
O que é pedido: demonstrar as duas direções da equivalência
X \text{ é fechado } \iff \text{ todo ponto de acumulação de } X \text{ pertence a } X.éçã
Não vou resolver nada neste passo, apenas identifiquei o que é pedido e o que tenho como dado.

Passo 2

Definição fundamental 1 — ponto de acumulação (limite): explico com calma. Dizemos que um ponto x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de X se, para todo \varepsilon>0, a vizinhança aberta (x-\varepsilon,x+\varepsilon) contém algum ponto de X diferente de x. Em símbolos:
x \text{ é ponto de acumulação de } X \quad\Longleftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0,\; \bigl((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\setminus\{x\}\bigr)\cap X \neq \varnothing.éçã
Aqui \varepsilon é um número positivo que representa o “tamanho” da vizinhança; a condição diz que não importa quão pequena a vizinhança ao redor de x seja, ela sempre contém algum ponto de X diferente de x.
Definição fundamental 2 — conjunto fechado: explico também. Um conjunto X\subset\mathbb{R} é dito fechado se o seu complementar \mathbb{R}\setminus X é aberto. E “aberto” significa que todo ponto do conjunto aberto tem uma vizinhança inteira contida nesse conjunto. Em símbolos:
X \text{ é fechado } \iff \mathbb{R}\setminus X \text{ é aberto},éé
e
U\subset\mathbb{R} \text{ é aberto } \iff \forall y\in U\; \exists \varepsilon>0\; \text{tal que}\; (y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subset U.é
Vou usar essas definições nas provas das duas direções.

Passo 3

Prova da primeira implicação: se X é fechado então contém todos os seus pontos de acumulação.
Suponha X fechado e seja x um ponto de acumulação de X. Vou mostrar que x\in X. Faço por contradição: suponha x\notin X. Então x\in \mathbb{R}\setminus X. Como \mathbb{R}\setminus X é aberto (pois X é fechado), existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset \mathbb{R}\setminus X.
Isto significa que a vizinhança (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não contém pontos de X. Mas isso contradiz diretamente a definição de ponto de acumulação, que exige que toda vizinhança de x contenha um ponto de X diferente de x. Logo a hipótese x\notin X é absurda, e portanto x\in X. Conclusão: todo ponto de acumulação de X está em X.
Comentário didático curto sobre a direção anterior: a ideia é intuitiva — se X é fechado, seu exterior tem “folga” ao redor de cada ponto do exterior; logo não é possível que um ponto do exterior seja limite de pontos de X. Esse é o núcleo da contradição usada.

Passo 4

Prova da segunda implicação: se X contém todos os seus pontos de acumulação então X é fechado.
Quero mostrar que \mathbb{R}\setminus X é aberto. Pegue qualquer ponto y\in \mathbb{R}\setminus X. Vou provar que existe \delta>0 tal que (y-\delta,y+\delta)\subset \mathbb{R}\setminus X. Suponha, para chegar a uma contradição, que isso não aconteça: então, para todo n\in\mathbb{N} (ou para todo \delta>0) a vizinhança (y-1/n,y+1/n) contém algum ponto de X. Em particular, isso significa que toda vizinhança de y intersecta X; pelo que escrevi na definição de ponto de acumulação, isso significa que y é um ponto de acumulação de X. Pela hipótese da implicação, todo ponto de acumulação pertence a X; portanto y\in X. Mas isso contradiz a escolha de y em \mathbb{R}\setminus X. Logo nossa suposição está errada e existe \delta>0 tal que
(y-\delta,y+\delta)\cap X = \varnothing,
ou seja,
(y-\delta,y+\delta)\subset \mathbb{R}\setminus X.
Isso prova que cada y\in\mathbb{R}\setminus X tem uma vizinhança inteira contida no complementar, portanto \mathbb{R}\setminus X é aberto e, por definição, X é fechado.

Passo 5

Versão alternativa (útil na prova de provas e em exercícios): caracterização por sequências. Explico a ideia e dou um esboço. Um conjunto X é fechado se e somente se toda sequência (x_n) com x_n\in X que converge em \mathbb{R} tem seu limite em X. A relação com pontos de acumulação: x é ponto de acumulação de X exatamente quando existe uma sequência (x_n) com x_n\in X\setminus\{x\} e x_n\to x. Usando essa caracterização, as duas direções ficam naturais: se X é fechado, então limites de sequências em X pertencem a X, logo pontos de acumulação (que são limites de sequências distintas de x) pertencem a X. E se X contém todos seus pontos de acumulação, então qualquer sequência em X que converge tem limite que é ou elemento da sequência (logo em X) ou um ponto de acumulação (também em X); assim X é fechado.
Esta é uma prova equivalente, às vezes mais prática.

Passo 6

Conclusão e incentivo final: juntei as duas implicações e mostrei que elas são verdadeiras usando definições claras (vizinhanças/aberto/fechado) e, se você preferir, pode ver a mesma equivalência via sequências. Se ficou meio abstrato, tente fazer um exemplo concreto: X=[0,1] contém seus pontos de acumulação [0,1] e é fechado; X=(0,1) tem pontos de acumulação [0,1] que não estão todos em X, então não é fechado — isso ajuda a fixar a intuição.

Resposta

X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

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