Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Z de
\frac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de z é \displaystyle \frac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1}.
  • O objetivo é encontrar a sequência temporal x[n] tal que \mathcal{Z}\{x[n]\} seja essa função.
  • A função é racional (fração de polinômios em z); portanto usaremos fatoração do polinômio do denominador e expansão em frações parciais para inverter termo a termo.

Passo 2

Encontrar as raízes do denominador para fatorá-lo. Resolver a equação
3 z^{2}-2 z-1=0.
Usando a fórmula quadrática:
z=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{2\pm\sqrt{16}}{6} =\frac{2\pm4}{6}.
Logo as raízes são
z_1=\frac{2+4}{6}=1,\qquad z_2=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}.
Portanto o denominador fatorado é
3 z^{2}-2 z-1 = 3(z-1)\Bigl(z+\frac{1}{3}\Bigr).

Passo 3

Fazer a expansão em frações parciais. Escrever
\frac{4 z}{3(z-1)\left(z+\dfrac{1}{3}\right)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+\tfrac{1}{3}}.
Multiplicando ambos os lados por 3(z-1)\left(z+\tfrac{1}{3}\right)\) obtemos \[\frac{4 z}{1}=3A\Bigl(z+\frac{1}{3}\Bigr)+3B(z-1).
Desenvolvendo o lado direito:
4z = (3A+3B)z + (A-3B).
Igualando coeficientes de z e termos independentes:
\begin{cases} 3A+3B=4,\\[4pt] A-3B=0. \end{cases}
Da segunda equação A=3B\]. Substituindo na primeira: \[3(3B)+3B=4 \implies 12B=4 \implies B=\frac{1}{3},\] e então \(A=3B=1. Assim
\frac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1}=\frac{1}{z-1}+\frac{1/3}{z+\tfrac{1}{3}}.]

Passo 4

Reescrever cada termo em forma conveniente para usar pares conhecidos da transformada de Z (usar potências de z^{-1}). Observações e fórmula que vamos usar:
  • A transformada direta conhecida é \mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\dfrac{1}{1-a z^{-1}} com região de convergência |z|>|a|.
  • O fator z^{-1} indica um atraso de uma amostra no tempo: se G(z)=\mathcal{Z}\{g[n]\} então z^{-1}G(z)=\mathcal{Z}\{g[n-1]\} para sinais causais (com g[n]=0 para n<0).
Reescrevemos cada fração em termos de z^{-1}. Para o primeiro termo:
\frac{1}{z-1}=\frac{1/z}{1-z^{-1}}=z^{-1}\cdot\frac{1}{1-z^{-1}}.
Para o segundo termo:
\frac{1/3}{z+\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{z\left(1+\tfrac{1}{3}z^{-1}\right)} =\frac{1}{3}z^{-1}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{3})z^{-1}}.
Portanto a função pode ser escrita como
X(z)=\frac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1} =z^{-1}\left(\frac{1}{1-z^{-1}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{3})z^{-1}}\right).

Passo 5

Interpretar cada termo na forma de séries temporais. Estabelecer a sequência correspondente a
G(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{3})z^{-1}}.
Usando o par \mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\dfrac{1}{1-a z^{-1}}, obtemos para G(z) a sequência
g[n]=1+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n},\qquad n\ge0,
ou seja g[n]=1+\dfrac{1}{3}(-\tfrac{1}{3})^{n} para n\ge0, e g[n]=0 para n<0.
Como X(z)=z^{-1}G(z), na sequência temporal isso corresponde a um atraso de uma amostra:
x[n]=g[n-1],\qquad \text{com }g[-1]=0.
Assim:
  • Para n=0: x[0]=g[-1]=0.
  • Para n\ge1: x[n]=g[n-1]=1+\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}.

Passo 6

Simplificar a expressão para n\ge1\). Notar que \[\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{(-1)^{\,n-1}}{3^{n}}.
Portanto uma forma clara e compacta para x[n] é
x[n]=\begin{cases} 0, & n=0,\\[6pt] 1+\dfrac{(-1)^{\,n-1}}{3^{n}}, & n\ge1. \end{cases}
Também se pode escrever usando a função passo deslocada (u[n-1]]:
x[n]=\Bigl(1+\dfrac{1}{3}\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{\,n-1}\Bigr)u[n-1].]

Passo 7

Breve verificação (opcional, para conferir): aplicando a transformada de Z à expressão encontrada reintegramos os termos e recupera-se
X(z)=z^{-1}\left(\frac{1}{1-z^{-1}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{3})z^{-1}}\right),
que é algebraicamente igual à expressão original \dfrac{4 z}{3 z^{2}-2 z-1}. A escolha de sequência causal (ROC |z|>1) é consistente com esse resultado.

Resposta

x[0]=0
x[n]=1+\dfrac{(-1)^{\,n-1}}{3^{n}},\quad n\ge1

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