Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
Informações relevantes dadas:
- Para .
- Para
, . - O objetivo é obter a expressão de
em função de .]
Passo 2
Definição e ideia que vou usar (sem ainda aplicar): a transformada de Laplace de uma função
é
desde que a integral convirja. Também vou usar a função de Heaviside (ou degrau)
definida por
para
e
para
. Uma propriedade útil (segunda propriedade do deslocamento) é que, para uma função
,
desde que as transformadas existam.
Passo 3
Expressar
usando o degrau para separar o acréscimo em
. Observando a definição por partes, podemos escrever
Verificação rápida: para
o degrau é zero e
; para
o degrau é um e
. Esta forma é conveniente porque a transformada é linear.
Passo 4
Calcular
. Vou mostrar passo a passo por integração por partes duas vezes.
Defina
Fazer integração por partes com
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale zero quando
. Denote
Então obtemos
Agora calcule
por partes: tome
,
, logo
,
. Assim
O termo de fronteira é
(avaliando em
e em
com
), e a integral restante é
. Portanto
Substituindo
em
obtemos
Isolando
,
Logo
Passo 5
Calcular a transformada do termo deslocado
usando a propriedade do deslocamento. Tomando
e
, a propriedade dá
Já sabemos (ou podemos derivar analogamente) que
Portanto
Passo 6
Usar linearidade da transformada e somar os resultados das Passos 4 e 5:
Substituindo:
Podemos também fatorar o denominador:
válido para
. Pequena nota de interpretação: a presença do fator exponencial
corresponde ao atraso em
do termo
.