Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função no domínio de
:
O que se pede é a transformada inversa de Laplace
, ou seja, encontrar a função
tal que
.
Passo 2
Simplificar a expressão de
completando o quadrado no denominador para ver uma forma conhecida. Observando:
Então podemos reescrever
substituindo:
Isso sugere fazer a troca de variável
para trabalhar com a forma
.
Passo 3
Usar a propriedade de mudança de variável na transformada de Laplace (deslocamento em
) — lembrete prático: se
tem transformada inversa
, então
corresponde a multiplicar
por
. Formalmente, se
corresponde a
; aqui
. Definindo
temos
Ou seja, basta achar
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Calcular
. Vou usar uma propriedade útil: a derivada da transformada em relação a
.
Recordando:
Recordando:
e a regra
.
Aplicando com :
Aplicando com
Calcule a derivada:
Portanto
Passo 5
Da igualdade anterior isolamos a transformada que queremos:
Logo a transformada inversa é
Passo 6
Retornando ao deslocamento em
: como
, a inversa é multiplicada por
. Assim a solução final é