Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{s+1}{\left(s^{2}+2 s+2\right)^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função no domínio de s:
F(s)=\frac{s+1}{\left(s^{2}+2 s+2\right)^{2}}.
O que se pede é a transformada inversa de Laplace \mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, encontrar a função f(t) tal que \mathfrak{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Simplificar a expressão de F(s) completando o quadrado no denominador para ver uma forma conhecida. Observando:
s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1.
Então podemos reescrever F(s) substituindo:
F(s)=\frac{s+1}{\bigl((s+1)^{2}+1\bigr)^{2}}.
Isso sugere fazer a troca de variável p=s+1 para trabalhar com a forma \dfrac{p}{(p^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Usar a propriedade de mudança de variável na transformada de Laplace (deslocamento em s) — lembrete prático: se G(p) tem transformada inversa g(t), então G(s+1) corresponde a multiplicar g(t) por e^{-t}. Formalmente, se G(s-a) corresponde a e^{at}g(t); aqui a=-1. Definindo
G(p)=\frac{p}{(p^{2}+1)^{2}}\quad\text{e}\quad F(s)=G(s+1),
temos
\mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\}=e^{-t}\,\mathfrak{L}^{-1}\{G(p)\}.
Ou seja, basta achar g(t)=\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{p}{(p^{2}+1)^{2}}\right\} e depois multiplicar por e^{-t}.

Passo 4

Calcular g(t)=\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{p}{(p^{2}+1)^{2}}\right\}. Vou usar uma propriedade útil: a derivada da transformada em relação a s.
Recordando:
\mathfrak{L}\{\sin t\}=\frac{1}{p^{2}+1}\quad\text{(para a variável }p\text{)},á
e a regra \mathfrak{L}\{t\,f(t)\}=-\dfrac{d}{dp}\bigl(\mathfrak{L}\{f(t)\}\bigr).
Aplicando com f(t)=\sin t:
\mathfrak{L}\{t\sin t\}=-\frac{d}{dp}\!\left(\frac{1}{p^{2}+1}\right).
Calcule a derivada:
-\frac{d}{dp}\!\left(\frac{1}{p^{2}+1}\right)=-\left(-\frac{2p}{(p^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2p}{(p^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathfrak{L}\{t\sin t\}=\frac{2p}{(p^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Da igualdade anterior isolamos a transformada que queremos:
\frac{p}{(p^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{2}\,\mathfrak{L}\{t\sin t\}.
Logo a transformada inversa é
g(t)=\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\frac{p}{(p^{2}+1)^{2}}\right\}=\frac{1}{2}\,t\sin t.

Passo 6

Retornando ao deslocamento em s: como F(s)=G(s+1), a inversa é multiplicada por e^{-t}. Assim a solução final é
f(t)=e^{-t}\,g(t)=e^{-t}\cdot\frac{1}{2}\,t\sin t.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,t e^{-t}\sin t

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