Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{10 s}{s^{2}+16}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=\dfrac{10 s}{s^{2}+16}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=\dfrac{10 s}{s^{2}+16}.
  • Precisa-se encontrar f(t)=\mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\}, função de t (normalmente para t\ge0).

Passo 2

Lembrete prático e ferramenta principal que vou usar: a transformada de Laplace de funções seno e cosseno. A propriedade de linearidade também será usada (constantes multiplicativas saem da transformada e da inversa).
A definição útil (sem provar toda a integral agora) é:
\mathfrak{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathfrak{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a é um número real positivo e s é a variável do domínio da transformada (normalmente com \Re(s)>0 para convergência). Essas fórmulas são padrões que convém decorar para a prova.
Explicando cada símbolo:
  • \cos(at) é a função tempo que depende de t.
  • a é a frequência angular (por exemplo, se a=4 a oscilação tem frequência angular 4).
  • s é a variável complexa na transformada de Laplace.
  • \mathfrak{L}\{\cdot\} indica a transformação de Laplace; \mathfrak{L}^{-1}\{\cdot\} é a inversa.

Passo 3

Vou justificar rapidamente a fórmula \mathfrak{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} para você entender de onde vem (modo prático, sem integrais longas). Use a exponencial complexa:
\cos(at)=\Re\{e^{i a t}\}.
Então, pela linearidade e propriedades de parte real,
\mathfrak{L}\{\cos(at)\}=\Re\!\left\{\mathfrak{L}\{e^{i a t}\}\right\} =\Re\!\left\{\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i a t}\,dt\right\} =\Re\!\left\{\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt\right\}.
A integral geométrica vale \dfrac{1}{s-i a} (quando \Re(s)>0), então
\mathfrak{L}\{\cos(at)\}=\Re\!\left\{\frac{1}{s-i a}\right\} =\Re\!\left\{\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Pronto — é por isso que aparece essa razão. Isso mostra também como reconhecer padrões na hora da prova.

Passo 4

Agora aplico essa identificação ao F(s) dado. Note que
F(s)=\frac{10 s}{s^{2}+16}=10\cdot\frac{s}{s^{2}+4^{2}}.
Comparando com a fórmula \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}, vemos que a=4. Pela propriedade de linearidade da inversa de Laplace, a constante 10 sai da inversa. Logo a função no tempo correspondente é um múltiplo do cosseno com a=4.

Passo 5

Verificação rápida (checar que faz sentido): se eu tomar f(t)=10\cos(4t) e aplicar a Laplace, obtenho
\mathfrak{L}\{10\cos(4t)\}=10\cdot\frac{s}{s^{2}+4^{2}}=\frac{10s}{s^{2}+16}=F(s),
ou seja, é coerente.

Resposta

\;10\cos(4t)

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