Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função no domínio de
é . - Precisa-se encontrar
, função de (normalmente para ).
Passo 2
Lembrete prático e ferramenta principal que vou usar: a transformada de Laplace de funções seno e cosseno. A propriedade de linearidade também será usada (constantes multiplicativas saem da transformada e da inversa).
A definição útil (sem provar toda a integral agora) é:
Aqui
é um número real positivo e
é a variável do domínio da transformada (normalmente com
para convergência). Essas fórmulas são padrões que convém decorar para a prova.
Explicando cada símbolo:
-
é a função tempo que depende de . -
é a frequência angular (por exemplo, se a oscilação tem frequência angular ). -
é a variável complexa na transformada de Laplace. -
indica a transformação de Laplace; é a inversa.
Passo 3
Vou justificar rapidamente a fórmula
para você entender de onde vem (modo prático, sem integrais longas). Use a exponencial complexa:
Então, pela linearidade e propriedades de parte real,
A integral geométrica vale
(quando
), então
Pronto — é por isso que aparece essa razão. Isso mostra também como reconhecer padrões na hora da prova.
Passo 4
Agora aplico essa identificação ao
dado. Note que
Comparando com a fórmula
, vemos que
. Pela propriedade de linearidade da inversa de Laplace, a constante
sai da inversa. Logo a função no tempo correspondente é um múltiplo do cosseno com
.
Passo 5
Verificação rápida (checar que faz sentido): se eu tomar
e aplicar a Laplace, obtenho
ou seja, é coerente.