Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace de
. - Ou seja, encontrar
tal que , com . - Informação dada: a função racional em
mostrada acima. Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Estratégia e lembretes úteis (fórmulas que vamos usar) — explico com calma:
- Linearidade:
. Portanto podemos decompor e inverter termo a termo. - Par par de Laplace que vamos usar (é fundamental decorá-lo):
Aqui é um número positivo que aparece na frequência; por exemplo, para temos , e para temos . - Para poder aplicar essa propriedade diretamente, preciso escrever
como soma de frações cujos denominadores são e . Ou seja, usar frações parciais apropriadas.
Passo 3
Escolhendo a forma das frações parciais:
- Como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis
e , a forma geral da decomposição é onde são constantes a determinar. - Por que essa forma? Porque para cada quadrático irreduzível do segundo grau usamos um numerador linear
. Isso garante representatividade completa da fração original.
Passo 4
Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum e igualar numeradores:
- Multiplicando por
obtemos - Vou expandir os dois produtos:
- Somando,
Passo 5
Igualar coeficientes e resolver o sistema linear:
- Comparando coeficientes do polinômio do lado direito com
- Da primeira equação
, logo
- Da segunda
. Substituindo na quarta: , logo ]
Passo 6
Escrever a decomposição encontrada e preparar para inverter:
- Substituindo os coeficientes achados,
- Simplificando,
Passo 7
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando
:
- Invertendo o primeiro termo:
. - Invertendo o segundo termo:
porque aqui . - Pela linearidade,