Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+4\right)\left(s^{2}+1\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=\dfrac{s}{\left(s^{2}+4\right)\left(s^{2}+1\right)}.
  • Ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), com t\ge 0.
  • Informação dada: a função racional em s mostrada acima. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Estratégia e lembretes úteis (fórmulas que vamos usar) — explico com calma:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a g(t)+b h(t)\}=a\mathcal{L}\{g(t)\}+b\mathcal{L}\{h(t)\}. Portanto podemos decompor F(s) e inverter termo a termo.
  • Par par de Laplace que vamos usar (é fundamental decorá-lo): \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.Aqui a é um número positivo que aparece na frequência; por exemplo, para a=1 temos \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}, e para a=2 temos \mathcal{L}\{\cos 2t\}=\dfrac{s}{s^{2}+4}.
  • Para poder aplicar essa propriedade diretamente, preciso escrever F(s) como soma de frações cujos denominadores são s^{2}+1 e s^{2}+4. Ou seja, usar frações parciais apropriadas.

Passo 3

Escolhendo a forma das frações parciais:
  • Como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis s^{2}+1 e s^{2}+4, a forma geral da decomposição é \frac{s}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{As+B}{s^{2}+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4},onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Por que essa forma? Porque para cada quadrático irreduzível do segundo grau usamos um numerador linear Es+F. Isso garante representatividade completa da fração original.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum e igualar numeradores:
  • Multiplicando por (s^{2}+1)(s^{2}+4) obtemos s=(As+B)(s^{2}+4)+(Cs+D)(s^{2}+1).
  • Vou expandir os dois produtos: (As+B)(s^{2}+4)=As^{3}+Bs^{2}+4As+4B,
(Cs+D)(s^{2}+1)=Cs^{3}+Ds^{2}+Cs+D.
  • Somando, s=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(4A+C)s+(4B+D).

Passo 5

Igualar coeficientes e resolver o sistema linear:
  • Comparando coeficientes do polinômio do lado direito com s\) (que é \(0\cdot s^{3}+0\cdot s^{2}+1\cdot s+0\)), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 4A+C=1,\\[4pt] 4B+D=0. \end{cases}
  • Da primeira equação C=-A\]. Substituindo na terceira: \(4A+(-A)=3A=1, logo A=\tfrac{1}{3},\qquad C=-\tfrac{1}{3}.
  • Da segunda D=-B. Substituindo na quarta: 4B+(-B)=3B=0, logo B=0,\qquad D=0.]

Passo 6

Escrever a decomposição encontrada e preparar para inverter:
  • Substituindo os coeficientes achados, \frac{s}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{\tfrac{1}{3}s}{s^{2}+1}+\frac{-\tfrac{1}{3}s}{s^{2}+4}.
  • Simplificando, F(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at):
  • Invertendo o primeiro termo: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
  • Invertendo o segundo termo: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t) porque aqui a=2.
  • Pela linearidade, f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{3}\cos t-\frac{1}{3}\cos(2t),\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}\bigl(\cos t-\cos(2t)\bigr)

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