Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a função transformada
F(s)=\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}
e pede para calcular a transformada inversa \mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função F(s) está escrita em termos de potências de (s+2) no denominador e um polinômio em s no numerador.
  • O objetivo é encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Escolha do método. Vou transformar F(s) numa soma de termos da forma \dfrac{1}{(s+2)^{n}} multiplicados por constantes, porque existe uma fórmula simples e elementar para a transformada inversa de \dfrac{1}{(s+a)^{n}}. Essa abordagem é direta, pouco trabalhosa e usa apenas álgebra e a tabela básica de Laplace — ideal para fazer na prova sem complicação.

Passo 3

Reescrever o numerador em termos de (s+2). Observe que
s+1=(s+2)-1.
Logo
(s+1)^{2}=\big((s+2)-1\big)^{2}.
Agora expandimos o quadrado passo a passo:
\big((s+2)-1\big)^{2}=(s+2)^{2}-2(s+2)+1.

Passo 4

Dividindo pelo denominador (s+2)^{4} obtemos
F(s)=\frac{(s+2)^{2}-2(s+2)+1}{(s+2)^{4}}.
Separando em parcelas:
F(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}-2\cdot\frac{1}{(s+2)^{3}}+\frac{1}{(s+2)^{4}}.

Passo 5

Apresento a fórmula que vou usar para inverter cada termo. Para n inteiro positivo e a real vale
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{\,n-1}e^{-a t}}{(n-1)!}\right\}=\frac{1}{(s+a)^{n}}.
Explicando os símbolos:
  • t é a variável do domínio temporal (tempo).
  • n é um inteiro positivo; o caso n=1,2,3,\dots.
  • (n-1)! é o fatorial de n-1.
  • a é a constante de decaimento (aqui será a=2).
    Como exemplo concreto: para n=2 a fórmula diz que \mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=1/(s+a)^{2}; para n=3 diz que \mathcal{L}\{t^{2}e^{-a t}/2!\}=1/(s+a)^{3}, etc.

Passo 6

Aplicando a fórmula a cada parcela de F(s) (com a=2):
  1. Para \dfrac{1}{(s+2)^{2}} corresponde n=2. Pela fórmula,
\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\right\}=t e^{-2t}.
  1. Para \dfrac{1}{(s+2)^{3}} corresponde n=3. Pela fórmula,
\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}e^{-2t}}{2!}=\frac{t^{2}e^{-2t}}{2}.
Multiplicando pelo coeficiente -2 que acompanha este termo em F(s) -2\cdot \dfrac{t^{2}e^{-2t}}{2}=-t^{2}e^{-2t}.
  1. Para \dfrac{1}{(s+2)^{4}} corresponde n=4. Pela fórmula,
\mathfrak{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{4}}\right\}=\frac{t^{3}e^{-2t}}{3!}=\frac{t^{3}e^{-2t}}{6}.

Passo 7

Somando as contribuições obtidas, a transformada inversa de F(s) é
f(t)=t e^{-2t}-t^{2}e^{-2t}+\frac{t^{3}e^{-2t}}{6}.
Podemos fatorar e^{-2t} para ficar mais compacto:
f(t)=e^{-2t}\!\left(t - t^{2} + \frac{t^{3}}{6}\right).
Essa é uma forma prática para memorização e uso direto em provas.

Resposta

\mathfrak{L}^{-1}\!\{F(s)\}=e^{-2t}\!\left(t - t^{2} + \frac{t^{3}}{6}\right)

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