Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função transformada
e pede para calcular a transformada inversa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
está escrita em termos de potências de no denominador e um polinômio em no numerador. - O objetivo é encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Escolha do método. Vou transformar
numa soma de termos da forma
multiplicados por constantes, porque existe uma fórmula simples e elementar para a transformada inversa de
. Essa abordagem é direta, pouco trabalhosa e usa apenas álgebra e a tabela básica de Laplace — ideal para fazer na prova sem complicação.
Passo 3
Reescrever o numerador em termos de
. Observe que
Logo
Agora expandimos o quadrado passo a passo:
Passo 4
Dividindo pelo denominador
obtemos
Separando em parcelas:
Passo 5
Apresento a fórmula que vou usar para inverter cada termo. Para
inteiro positivo e
real vale
Explicando os símbolos:
-
é a variável do domínio temporal (tempo). -
é um inteiro positivo; o caso . -
é o fatorial de . -
é a constante de decaimento (aqui será ).
Como exemplo concreto: paraa fórmula diz que ; para diz que , etc.
Passo 6
Aplicando a fórmula a cada parcela de
(com
):
- Para
corresponde . Pela fórmula,
- Para
corresponde . Pela fórmula,
Multiplicando pelo coeficiente
que acompanha este termo em
dá
- Para
corresponde . Pela fórmula,
Passo 7
Somando as contribuições obtidas, a transformada inversa de
é
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Essa é uma forma prática para memorização e uso direto em provas.