em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva? 17.20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
(b) Utilize a Formula 9 para encontrar a curvatura.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
(b) Utilize a Formula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
O enunciado pede três coisas relacionadas a uma curva parametrizada que passa pelo ponto
quando
e cresce quando
aumenta:
- Reparametrização por comprimento de arco medida a partir do ponto
na direção crescente de ; expressar essa reparametrização na forma mais simples e dizer o que se conclui sobre a curva. - (a) Determinar os vetores tangente e normal unitários
e . - (b) Usar a Fórmula 9 (fórmula da curvatura) para encontrar a curvatura.
Como o problema menciona explicitamente o ponto
e a direção crescente de
, vamos considerar a parametrização padrão da circunferência unitária que satisfaz isso, ou seja a curva
pois
e o aumento de
gera movimento no sentido anti-horário. Todas as contas abaixo partirão dessa parametrização.
Passo 2
Calcular a derivada e a velocidade (módulo da derivada). Trabalhar componente a componente:
A derivada é
O módulo (velocidade) é
Explicação curta: derivada componente a componente significa diferenciar
e
separadamente; o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Passo 3
Encontrar o comprimento de arco
medido a partir de
(ponto
) na direção crescente de
. A definição do comprimento de arco desde
até
é
Como
para todo
, obtemos
Portanto
e a inversa é
. Assim a reparametrização por comprimento de arco é simplesmente
Comentário didático: aqui deu sorte — a parametrização original já é de velocidade unitária (unit-speed), então a reparametrização por comprimento de arco é idêntica, na forma mais simples possível.
Passo 4
Conclusão sobre a curva a partir da reparametrização e das propriedades encontradas:
- A curva é a circunferência de raio
centrada na origem. - É uma parametrização unitária (velocidade unitária) e regular para todo
. - Como
e a curva se repete periodicamente com período , trata‑se de uma curva fechada com curvatura constante (veremos o valor abaixo).
Passo 5
Determinar o vetor tangente unitário
.
Por definição, o vetor tangente unitário é
Já vimos que
, logo
Interpretação:
é um vetor unitário perpendicular ao raio
e tangente à circunferência, apontando no sentido do movimento (anti-horário).
Passo 6
Determinar o vetor normal unitário
.
A definição prática:
(assumindo
). Calculamos
componente a componente:
O módulo é
Portanto
Observação geométrica:
, isto é, o vetor normal unitário aponta radialmente para dentro (para o centro da circunferência), o que faz sentido para uma circunferência onde a normal aponta para o centro.
Passo 7
Calcular a curvatura
usando a Fórmula 9. Vou apresentar duas formas equivalentes e mostrar ambos os cálculos (úteis para a prova).
Forma A (usando
). Já temos
e
, então
Forma B (fórmula em termos de componentes: para
,
Aqui
,
. Calculamos:
Então o numerador é
O denominador é
. Logo
Ambas as formas confirmam que a curvatura é constante e igual a
.
Comentário final: para uma circunferência de raio
a curvatura é
; aqui
então
.
Resposta
Reparametrização por comprimento de arco:
.
Conclusão sobre a curva: é a circunferência de raio
centrada na origem; parametrização unitária e curvatura constante.
(a)
(b)