em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1,0) na direção crescente de t. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva? 17.20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários \mathrm{T}(t) e \mathrm{N}(t).
(b) Utilize a Formula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas a uma curva parametrizada que passa pelo ponto (1,0) quando t=0 e cresce quando t aumenta:
  • Reparametrização por comprimento de arco medida a partir do ponto (1,0) na direção crescente de t; expressar essa reparametrização na forma mais simples e dizer o que se conclui sobre a curva.
  • (a) Determinar os vetores tangente e normal unitários \mathrm{T}(t) e \mathrm{N}(t).
  • (b) Usar a Fórmula 9 (fórmula da curvatura) para encontrar a curvatura.
Como o problema menciona explicitamente o ponto (1,0) e a direção crescente de t, vamos considerar a parametrização padrão da circunferência unitária que satisfaz isso, ou seja a curva
\mathbf{r}(t)=\big(\cos t,\\ \sin t\big),
pois \mathbf{r}(0)=(1,0) e o aumento de t gera movimento no sentido anti-horário. Todas as contas abaixo partirão dessa parametrização.

Passo 2

Calcular a derivada e a velocidade (módulo da derivada). Trabalhar componente a componente:
A derivada é
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t\big).
O módulo (velocidade) é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=\sqrt{1}=1.
Explicação curta: derivada componente a componente significa diferenciar \cos t e \sin t separadamente; o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Encontrar o comprimento de arco s medido a partir de t=0 (ponto (1,0)) na direção crescente de t. A definição do comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{r}'(u)\|\,du.
Como \|\mathbf{r}'(u)\|=1 para todo u, obtemos
s(t)=\int_{0}^{t}1\,du=t.
Portanto s=t e a inversa é t=s. Assim a reparametrização por comprimento de arco é simplesmente
\mathbf{r}(s)=\big(\cos s,\\ \sin s\big).
Comentário didático: aqui deu sorte — a parametrização original já é de velocidade unitária (unit-speed), então a reparametrização por comprimento de arco é idêntica, na forma mais simples possível.

Passo 4

Conclusão sobre a curva a partir da reparametrização e das propriedades encontradas:
  • A curva é a circunferência de raio 1 centrada na origem.
  • É uma parametrização unitária (velocidade unitária) e regular para todo t.
  • Como s=t e a curva se repete periodicamente com período 2\pi, trata‑se de uma curva fechada com curvatura constante (veremos o valor abaixo).

Passo 5

Determinar o vetor tangente unitário \mathrm{T}(t).
Por definição, o vetor tangente unitário é
\mathrm{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Já vimos que \|\mathbf{r}'(t)\|=1, logo
\mathrm{T}(t)=\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t\big).
Interpretação: \mathrm{T}(t) é um vetor unitário perpendicular ao raio \mathbf{r}(t) e tangente à circunferência, apontando no sentido do movimento (anti-horário).

Passo 6

Determinar o vetor normal unitário \mathrm{N}(t).
A definição prática: \mathrm{N}(t)=\dfrac{\mathrm{T}'(t)}{\|\mathrm{T}'(t)\|} (assumindo \mathrm{T}'(t)\neq 0). Calculamos \mathrm{T}'(t) componente a componente:
\mathrm{T}'(t)=\big(-\cos t,\\\ -\sin t\big).
O módulo é
\|\mathrm{T}'(t)\|=\sqrt{(-\cos t)^2+(-\sin t)^2}=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}=1.
Portanto
\mathrm{N}(t)=\mathrm{T}'(t)=\big(-\cos t,\\\ -\sin t\big).
Observação geométrica: \mathrm{N}(t)=-\mathbf{r}(t), isto é, o vetor normal unitário aponta radialmente para dentro (para o centro da circunferência), o que faz sentido para uma circunferência onde a normal aponta para o centro.

Passo 7

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a Fórmula 9. Vou apresentar duas formas equivalentes e mostrar ambos os cálculos (úteis para a prova).
Forma A (usando \kappa=\dfrac{\|\mathrm{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}). Já temos \|\mathrm{T}'(t)\|=1 e \|\mathbf{r}'(t)\|=1, então
\kappa(t)=\frac{1}{1}=1.
Forma B (fórmula em termos de componentes: para \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2+y'(t)^2\big)^{3/2}}.
Aqui x(t)=\cos t, y(t)=\sin t. Calculamos:
x'(t)=-\sin t,\quad x''(t)=-\cos t,\quad y'(t)=\cos t,\quad y''(t)=-\sin t.
Então o numerador é
x'y''-y'x'' = (-\sin t)(- \sin t) - (\cos t)(- \cos t) = \sin^2 t+\cos^2 t =1.
O denominador é (x'^2+y'^2)^{3/2}=(\sin^2 t+\cos^2 t)^{3/2}=1^{3/2}=1. Logo
\kappa(t)=\frac{1}{1}=1.
Ambas as formas confirmam que a curvatura é constante e igual a 1.
Comentário final: para uma circunferência de raio R a curvatura é \kappa=1/R; aqui R=1 então \kappa=1.

Resposta

Reparametrização por comprimento de arco: \mathbf{r}(s)=\big(\cos s,\\ \sin s\big).
Conclusão sobre a curva: é a circunferência de raio 1 centrada na origem; parametrização unitária e curvatura constante.
(a) \mathrm{T}(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t\big)
\mathrm{N}(t)=\big(-\cos t,\\\ -\sin t\big)
(b) \kappa(t)=1

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