Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, r^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1).
Passo 1
O enunciado dá uma curva e pede a curvatura no ponto (1,1,1). Vou reescrever claramente o que temos:
A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\, t^{2},\, t^{3}\right\rangle. (Interpretei o termo r^{2} do enunciado como t^{2}, porque o ponto pedido (1,1,1) é compatível com essa interpretação.)
O ponto onde queremos a curvatura é (1,1,1).
O que precisamos achar:
O valor da curvatura \kappa da curva \mathbf{r}(t) no ponto (1,1,1).
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar o parâmetro t\) correspondente ao ponto \((1,1,1)\). Igualando componentes:
\[\begin{cases} t = 1,\\[4pt] t^{2} = 1,\\[4pt] t^{3} = 1. \end{cases}
Todas essas equações são satisfeitas por t=1\]. Logo, o ponto corresponde a \(t=1.]
Passo 3
Vou usar a fórmula padrão para curvatura de uma curva parametrizada por t (curvatura espacial):
\mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada da posição); ele aponta na direção tangente à curva.
\mathbf{r}''(t) é a derivada da velocidade (aceleração).
O produto vetorial \mathbf{r}'\times \mathbf{r}'' mede “quanto” \mathbf{r}'' tem componente perpendicular a \mathbf{r}'; sua norma dá uma medida da curvatura instantânea multiplicada por \lVert\mathbf{r}'\rVert^{3}.
Dividindo por \lVert \mathbf{r}'\rVert^{3} obtemos a curvatura \kappa, que é uma medida de quão “curva” é a trajetória naquele ponto (maior \kappa = curva mais acentuada).
Passo 4
Calculo agora as derivadas da curva componente a componente: