1. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, r^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma curva e pede a curvatura no ponto (1,1,1). Vou reescrever claramente o que temos:
  • A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\, t^{2},\, t^{3}\right\rangle. (Interpretei o termo r^{2} do enunciado como t^{2}, porque o ponto pedido (1,1,1) é compatível com essa interpretação.)
  • O ponto onde queremos a curvatura é (1,1,1).
O que precisamos achar:
  • O valor da curvatura \kappa da curva \mathbf{r}(t) no ponto (1,1,1).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o parâmetro t\) correspondente ao ponto \((1,1,1)\). Igualando componentes: \[\begin{cases} t = 1,\\[4pt] t^{2} = 1,\\[4pt] t^{3} = 1. \end{cases}
Todas essas equações são satisfeitas por t=1\]. Logo, o ponto corresponde a \(t=1.]

Passo 3

Vou usar a fórmula padrão para curvatura de uma curva parametrizada por t (curvatura espacial):
\kappa(t)=\frac{\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert^{3}}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada da posição); ele aponta na direção tangente à curva.
  • \mathbf{r}''(t) é a derivada da velocidade (aceleração).
  • O produto vetorial \mathbf{r}'\times \mathbf{r}'' mede “quanto” \mathbf{r}'' tem componente perpendicular a \mathbf{r}'; sua norma dá uma medida da curvatura instantânea multiplicada por \lVert\mathbf{r}'\rVert^{3}.
  • Dividindo por \lVert \mathbf{r}'\rVert^{3} obtemos a curvatura \kappa, que é uma medida de quão “curva” é a trajetória naquele ponto (maior \kappa = curva mais acentuada).

Passo 4

Calculo agora as derivadas da curva componente a componente:
\mathbf{r}(t)=\langle t,\, t^{2},\, t^{3}\rangle.
Derivando:
\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\, 2t,\, 3t^{2}\rangle, \qquad \mathbf{r}''(t)=\langle 0,\, 2,\, 6t\rangle.
Aqui usei a regra básica: \tfrac{d}{dt}t=1, \tfrac{d}{dt}t^{2}=2t, \tfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}, e a segunda derivada segue igual.

Passo 5

Avalio as derivadas em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\langle 1,\,2,\,3\rangle, \qquad \mathbf{r}''(1)=\langle 0,\,2,\,6\rangle.

Passo 6

Faço o produto vetorial \mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1). Usando a expansão por determinante:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 6 \end{vmatrix} = \langle 2\cdot6-3\cdot2,\; -(1\cdot6-3\cdot0),\;1\cdot2-2\cdot0\rangle.
Calculando cada componente:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)=\langle 12-6,\; -(6-0),\;2-0\rangle=\langle 6,\,-6,\,2\rangle.
Agora a norma desse vetor:
\bigl\lVert \mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)\bigr\rVert =\sqrt{6^{2}+(-6)^{2}+2^{2}} =\sqrt{36+36+4} =\sqrt{76} =2\sqrt{19}.

Passo 7

Calculo também a norma de \mathbf{r}'(1):
\bigl\lVert \mathbf{r}'(1)\bigr\rVert =\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}.
Agora aplico a fórmula da curvatura em t=1:
\kappa(1)=\frac{2\sqrt{19}}{\bigl(\sqrt{14}\bigr)^{3}} =\frac{2\sqrt{19}}{14\sqrt{14}} =\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.
Podemos dar uma forma alternativa:
\kappa(1)=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{19}{14}}.
Valor numérico aproximado (para intuição):
\kappa(1)\approx 0,1665\quad(\text{aproximadamente}).

Resposta

\displaystyle \kappa(1)=\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}} \approx 0,1665

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