Calcule \mathfrak{R}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t) das seguintes funções
F(s)=\frac{10(s+3)}{(s+4)\left(s^{2}+6 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{10(s+3)}{(s+4)\bigl(s^{2}+6s+5\bigr)}
Esse problema envolve decomposição em frações parciais e o fato de que \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-at}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
s^{2}+6s+5=(s+1)(s+5).
Assim
F(s)=\frac{10(s+3)}{(s+4)(s+1)(s+5)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+5}+\frac{C}{s+4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+5)(s+4) obtemos o numerador comum:
10(s+3)=A(s+5)(s+4)+B(s+1)(s+4)+C(s+1)(s+5).
Expandindo cada termo:
A\bigl(s^2+9s+20\bigr)+B\bigl(s^2+5s+4\bigr)+C\bigl(s^2+6s+5\bigr) =(A+B+C)s^2+(9A+5B+6C)s+(20A+4B+5C).
Comparando coeficientes com 10s+30 temos o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\\\ 9A+5B+6C=10,\\\\ 20A+4B+5C=30. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. De A+B+C=0 segue C=-A-B.
  2. Substituindo em 9A+5B+6C=10 3A-B=10, ou B=3A-10.
  3. Substituindo também em 20A+4B+5C=30 15A-B=30, ou B=15A-30.
    Igualando 3A-10=15A-30 resulta em A=5/3.
    Então B=3\cdot\frac{5}{3}-10=-5 e C=-\frac{5}{3}-(-5)=\frac{10}{3}.

Passo 5

Temos, portanto,
F(s)=\frac{5/3}{s+1}-\frac{5}{s+5}+\frac{10/3}{s+4}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo,
f(t)=\frac{5}{3}e^{-t}-5e^{-5t}+\frac{10}{3}e^{-4t},\quad t\ge0.

Resposta

f(t)=\frac{5}{3}e^{-t}+\frac{10}{3}e^{-4t}-5e^{-5t}.

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