Calcule \mathfrak{R}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t) das seguintes funções
F(s)=\frac{1}{s^{2}-4 s+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s^{2}-4s+5}.
O conteúdo envolve manipular a expressão de F(s) e usar a tabela de transformadas de Laplace para funções exponencial vezes seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+5=(s-2)^{2}+1.
Logo
F(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}+1}.

Passo 3

Na tabela de transformadas de Laplace temos
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s) =\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Comparando com
\frac{1}{(s-2)^{2}+1}
vemos que a=2 e b=1. Portanto
\mathfrak{R}^{-1}\{F(s)\}(t) =e^{2t}\sin(t).

Resposta

f(t)=e^{2t}\sin(t).

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