Calcule \mathfrak{R}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t) das seguintes funções
\mathrm{F}(s)=\frac{2 s-4}{\left(s^{2}-s-6\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace \mathfrak{R}^{-1}\{F(s)\}=f(t) onde
F(s)=\frac{2s-4}{s^{2}-s-6}.
O conteúdo aqui é a inversão de Laplace por frações parciais e a aplicação da tabela \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
s^{2}-s-6=(s-3)(s+2).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais
\frac{2s-4}{(s-3)(s+2)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}.
Isso implica
2s-4 = A(s+2)+B(s-3) = (A+B)\,s + (2A-3B).

Passo 4

Comparando os coeficientes de s\) e o termo constante, obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=2,\\\\ 2A-3B=-4. \end{cases}
Da primeira equação (A=2-B]. Substituindo na segunda:
2(2-B)-3B=-4 \quad\Longrightarrow\quad 4-2B-3B=-4 \quad\Longrightarrow\quad -5B=-8 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{8}{5},
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A=2-\tfrac{8}{5}=\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Agora cada parcela corresponde a uma exponencial:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{A}{s-3}\Bigr\}(t) =A\,e^{3t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{B}{s+2}\Bigr\}(t) =B\,e^{-2t}.
Portanto,
f(t)=\frac{2}{5}e^{3t}+\frac{8}{5}e^{-2t}.

Resposta

f(t)=\frac{2}{5}e^{3t}+\frac{8}{5}e^{-2t}.

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